Revenons au cas général
Etablissons quelques autres projjriétés de la fonction de (îreen qui nous seront nécessaires dans la suite.
THEORIE DU rOTESTlEL yEWTONIEN
1" L(i fonction de Green est conclu ni nient positiçe dans le domaine T.
Faisons cette (lémoiistriition dans le cas d'un volume T limité. (3n a :
Lorsque r tend vers zéro, II reste fini, donc G reste également fini, (rG^ — 1 j tend alors vers zéro et rG tend vers 1. Ainsi, quand r est très petit, le produit rG est très voisin de 1 ; on peut donc affirmer qu'au voisinage du point de discontinuité la fonction G est positive. Entourons alors ce point d'une sphère très petite S. Entre S et S, on a AG = 0 ; sur S, G est nulle et sur S' elle est >0 ; donc entre S et S, G est partout >0. Ainsi en tout point de T, G est positive.
2" On a constamment dans le vola /ne T.
On a eilet G=IlH ; or, dans T, II satisfait a l'éijuation de
Laplace ; de plus on a 11 = et par suite II<0 sur toute la
surlace S ; si donc T est le volume contenu ii l'intérieur de S et Si^ ^ limité par cette surface, on a en tout
)oint de T
l'ig- ty.
Cette propriété ainsi ([ue la précédente s'étendent sans peine au cas oîi le domaine T est constitué par l'espace extérieur à une surface fermée S.
3° Soient encore (fig. 49) un domaine T limité par une surface S, et un autre plus grand Tj limité par une surlace S^ et contenant le premier. Soit ^I' un point intérieur a T; appelons G la fonction de Green relative îi T et au point M'. On a :
G=-II+ —
roycrios dk c.ukks et mon le me de di uiciilet iGi
Anix'lons (ij li» loiutioii tle Ciicrii relative a I , cl au inètue point M' ; on a :
Je dis ([u'en tout |)(»int M intérieur ;i V on a : Hn ellet, en tout point intérieur ;i T, on a :
('. — c;, = ii — II,.
Or nous savons (pie (i, est X) ilans I , ; on a donc:
et par suite
en tout point de T, et en particulier en tctut point de S.
(Considérons alors la lonetion II — 11,: elle satisfait dans T ii TéipiatitMi de Laplace et reste néoative sur S; elle est donc négative en tout point tic V .
Bref, à l'intérieur de T, on a II — 1I,<0 et par conséquent G, — G>0, d'où:
4" Soit maintenant (fig. 50) une surface fermée S. Considérons le domaine T extérieur il cette surlace ; dans ce domaine, considérons un volume T, limité par une sur- \:\^ 5o.
face Sj.
Soit maintenant M un point du domaine T, ; appelons G la fonction de Green relative i» T et au point M' et G, la fonction de Green relative à T, et au même point M'.
poiNCARÉ. Poteiit. Newt. u
i62 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOMEN
On démontre sans dilficulté, en suivant le mode de raisonnement qui a servi dans le cas précédent, que l'on a :
en tout point ^I de T^.
5° Considérons un domaine T limité par une surface fermée S. Soit M' un point de ce domaine et G la fonction de Green relative à ce point et li ce domaine.
Envisageons les surfaces :
G == const.
A chaque valeur de la constante correspond une surface particulière.
Pour des valeurs très grandes de la constante, on a évidemment des surfaces très petites entourant le pôle !M' puisque la fonction G devient infinie en ce point.
Pour des valeurs très petites de la constante, on a au contraire des surfaces très voisines de S.
Enfin on passe d'une surface à une autre par délormation continue en faisant varier la constante d'une manière continue.
D'ailleurs la fonction G étant uniforme dans le volume T, deux surlaces correspondant à deux valeurs différentes de la constante ne peuvent pas se couper.
Les surfaces
entourent donc le pôle et s'enveloppent mutuellement.
Cela posé, soit une valeur particulière Gg de la constante ; considérons (fig. 51) la surface
Appelons-la S^; elle délimite, à l'intérieur de T, un domaine T^.
Traçons autour du point ^1' une sphère IS; nous pouvons la choisir assez petite pour que le minimun de G sur cette sphère
FOSCTIOS DE GRF.ES ET PROBLÈME DE DiniClILET i63
tU'passe toute quantité donnée puisque G devient infinie en M'; cIkÙsIssous ï de telle sorte qu'en tous ses points on ait
Entre S^^ et S, la fonction G est harmonique, elle atteint donc son
niininuini sur l'une des deux surfaces S^ ou ï ; ici ce ne peut être
que sur ï et ce niininuun est Cr,j. Ainsi en tout point de T^,
on a :
Au C(»ntiaire, entre S et S,^ la lonclion G est harmonique et sou maximum est sur S^ puisquen tout point de S, G est nulle. Ge maximum est donc (^t^ et l'on a en tout point extérieur ii S^ et intérieur à S :
(>onsiderons alors la deiivee — j — i)rise suivant la normale exte-
dn
rieure à S^.
Cette dérivée existe puisque S^ est à l'Intérieur de S et qu'en tout point de T la fonction G a des dérivées des deux premiers ordres. D'ailleurs on a en tout point de S^ :
dG . du puisque l'on a :
en tout point compris entre S et S,^.
Reprenons maintenant la formide démontrée au X° 68 :
(1) /Yu4^ — V i^Vuo = 4-I mV— m'U).
^ ' J \ du du / ' '
Remplaçons dans cette formule la fonction ^' par la fonction de Green G, laquelle est la somme d'une fonction harmonique II et
du potentiel — dû à la masse m = l située au pôle M'. Remplaçons en outre U par 1 ; nous devrons faire m = 0 et la formule considérée deviendra
TU KO RIE DU POTEXTIEL NEWTONIEy
C.ette intégrale a un sens si on rétend ii la surface S^, puisque
clG 1 • 1 .,- • ,•
est Jjien tlcimi sur cette surlace.
du
FiV. rrx.
74. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer rigoureusement le théorème du N" 72 dont nous ix'avions donné qu'une démonstration imparfaite.
(Considérons toujours un domaine T limité par une surface S et prenons dans T deux points M' et M" (fig. 52\ Appelons G' la l(»nction tle (ireen relative au domaine T (juand on prend M pour pôle et G' la fonction de Green relative au même domaine» (|uand le pôle est le point M' . Désignons en général par les notations :
G' (M) et G" (M;
les valeurs de ces jonctions en un point quelcon(|ue M de T. Nous voulons démontrer l'égalité :
Pour v parvenir, donnons-nous un noinbi'e t' très petit et considérons la suriace :
Appelons-la S'; elle est très voisine de S et, si s'est assez petit, elle contient a son intérieur les j^oints M' et M ". Considérons alors l'intégrale :
]:^ 1^ (C — . — (]"—, Idw
(tu
étendue ;i la surlace S' ; elle est bien dt'tei'ininée en V(Mtu des remarques faites dans le paragraphe précédent ; dr [)lus la lormule (1) dans lacpicllc on lait :
roscTios Di: che/:.\ et problème de diuiciilet i6'>
et pai' C(tns<'Mjii<'iit :
IKUIS piTlUft (1 ('(M'Il'O :
(3) J = 4tt[G" (M') — C (M";].
.Mont ions (jin- .1 est mil.
(!iltt' iiilciiralc est i;i diflV'iciUM' de deux autres :
I C. — j dw
J du
et
La piemu'ic pfut sV'cilrc
£ / — j — d i' du
j)iiis(jiit' la luiKtmn Cl ost constante sur S et égale à t' . Si 1 on tl<'iit cninpte ni outre de la relation 2 , cette ex[)ression devient :
La première intégiale tend donc vers zéro avec t . \ oyons maintenant la seconde.
IJans cette iiiteirrale, —, est constamment neuatil comme
'^ du ^
nous lavons montré ; appelons alors £ la limite suj)éi'ieure de G " sur S , (tn a :
de.
.' dn
Or £ ' tend vers zéro en même temps tpie t . car la surlace S' tend alors vers la surface S. Donc lintéûrale considérée tend vers zéro.
Ainsi J tend vers zéro eu même temps (jue t et par suite 1 expression
qui lui est égale y tend aussi.
i66 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOMEX
iNIais cette expression a une valeur fixe, elle est donc nécessairement nulle et l'on a bien
Le théorème annoncé est démontré.
75. Problème de Green. — Problème de Dirichlet transformé. — Comparaison avec le problème de Dirichlet ordinaire. — Équivalence de ces trois problèmes . — L'énoncé du problème de Dirichlet ordinaire a été donné plus haut i^64). Voici l'énoncé du problème de Green.
Plaçons-nous dans l'espace à trois dimensions.
Soit un volume T limité par une surface fermée S : calculer la fonction de Green relative à ce volume et a un quelconque de ses points.
Ainsi énoncé, le problème de Green peut être appelé problème intérieur de Green; mais, comme pour le problème de Dirichlet, on peut énoncer un jiroblème extérieur de Green.
Dans tout ce qui va suivre, nous ne nous occuperons que des problèmes intérieurs; les mêmes considérations s'appli(jueront aux problèmes extérieurs.
On peut montrer facilement l'équivalence du problème de Green et du problème de Dirichlet.
Soit U la jonction qui doit satisfaire à l'équation de Laplace dans T et dont il s'agit de déterminer les valeurs dans T par ses valeurs sur S. Sa valeur U' en un point !M' de T est donnée par la formule suivante
L'intégrale double du second membre est étendue à la surface S ; G est la fonction de Green relative au point M' et à T. Cette formule se déduit de l'intégrale (()) du paragraphe 69 en remplaçant le potentiel — par la somme G du potentiel — et de la
(onction harmonique H.
Si nous remarquons que G s'annule sur S, la formule ci-dessus se l'éduit ii :
J du
FOSCTIOy DE GREES ET PROBLÈME DE DIRICIILET 167
OU bien
Si donc on sait résoudre le problème de Grccn, on saura calculer la valeur U' de U en cha([ur point M' de T, c'est-ii-dire résoudre le problème de Diricbltt.
Inveiseinent, si Ton sait rt'soudre le problème de Dirichlet. on sait calculer la (onction II et [)ai- suite la lonction de Cireen G pour chaque point M' de T.
Les deux problèmes de Green et de Dirichlet ordinaire sont donc équivalents.
76- ^'oiei maintenant en quoi consiste le proJdènw de Dirichlet Irunsfornu'' :
Trouver une l'onction V salislaisant aux conditions suivantes : 1" Que V soit continue ainsi que ses dérivées premières dans T ; 2" Que ses dérivées secondes soient finies ; 3° Qu'à l'intérieur de T on ait, en chaque point :
[A. étant une fonction finie et intégrable donnée; 4° Que sur la surface S on ait
Posons
U satisfait aux conditions (1), (2), (3), mais non à la quatrième. Appelons U, les valeurs de U sur S ; si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet ordinaire, on sait calculer une fonctionW satisfaisant aux conditions (i), (2) et aux deux suivantes
AW=0 dans T
"NV ^= — Us sur S.
La fonction
