V = U+AV
satisfait aux 4 conditions proposées . Ainsi donc, si l'on sait résoudre
i68 THÉORIE DU POTEXTIEL XEWTOMEX
le problème de Dîiichlet ordinaire, on sait aussi résoudre le
problème de Dirichlet transformé.
Inversement, supposons que nous sachions résoudre ce dernier
problème, proposons-nous de résoudre le problème de Dirichlet
ordinaire, c'est-à-dire déterminons une fonction U telle cpie Ton
ait :
AU = 0 dansï
U = .5 sur S,
o étant une lonction donnée.
Pour V parvenir, formons une fonction W continue dans T ainsi que ses dérivées premières et secondes et se réduisant à es sur la surface : cela est possible d'une infinité de manières. 1/une de ces fonctions W étant choisie, la fonction AW est connue dans T. Pour achever le problème, il suffit de résoudre le problème de Dirichlet transformé en prenant pour [j. la fonction AW. On obtient ainsi une deuxième fonction Y.
(Considérons alors la fonction
VA\e satisfait aux conditions proposées et résout le problème de Dirichlet ordinaire.
77. Montrons enfin l'équivalence du problème de Green et du problème de Dirichlet translormé.
Supposons que nous sachions résoudre le problème de Green. Considérons alors l'intégrale :
V=jG(x,y,z,x',y',zVdT'
G étant la fonction de Green et l'intégrale étant étendue au volume T.
La fonction V ainsi obtenue est la solution du problème de Dirichlet transformé.
Kn effet, écrivons :
la fonction V prendra la forme :
/ ■ O .Y CTIO .V DE CHEF. .V E T l> f{ O II /, /; ME D E 1) 1 1{ I C II I. E I i !',< ,
Appelons N| l;i picmii'rc iiih'oriilc et \^ la sccoiulf ; Taisons voliniaintciiaiil t^uc l;i soniinc \ , -f- ^ ., satislalt aux (jiiati-c (•onditiiMis tlu probliMue de Dirichlct translornu'-.
1° A| est un potentiel de volume; \^ satislait tlonc aux conditions de eontinuit)'. Il est une lonetion hai'inoni(iue ; on peut, dans \ ,. dillV'renl ler sous le sij^^ne I et l'on xoil ainsi (uie \ ., satislait connue N, aux condilions île continuitc'-. Donc \, (uii est la sonuiie de ces deux (onctions, y satislait aussi.
2" Ou a :
AV= AV. + AV,, de plus :
et
AV, = OcaiA\V -. I^AlIv/dT';
donc, en somme :
AV = — 4-y..
."î" S«tient M un point intérieur ii T, M^ i fig. W,\], un point tle S, V la valeur de la fonction étudié'e eu M; je dis que, si M
Fig. .'ij.
tend vers M^^, Y tend vers zéro. Pour le démontrer, décrivons une sphère Sj tangente extérieurement à S en M^; cela est généralement possible. Distinguons alors plusieurs cas :
Preniier cas : ul > 0.
Dans ce cas, V qui est égal à | Cîjj.'d-:' est positif puisque G et a' le sont.
i-o THEORIE DU POTEXTIEL NEM'TONIEN
Appelons G la fonction de Green relative à l'extérieur de la sphère et au point M'; on sait que :
Désignons par a le rayon de la sphère, par 0 son centre et par p la distance OM'; appelons M'^ le conjugué harmonique de ]M' par rapport à la sphère ; on a :
Enfin posons
On a
r = MM' rj=MMV
Mais nous connaissons l'expression de la fonction de Green relative à l'extérieur d'une sphère; c'est
On a donc :
au'dT'
Quand le point M' décrit l'élément dx' dans T, M\ décrit un élément dT'j dans S, et au volume T correspond un volume transformé T', situé à l'intérieur de S^. Les deux éléments d-:' et d~\ sont reliés par la formule connue de la théorie de l'inversion :
dT' ÔM'' ?' p'
d-\ ÔMV^
L'inégalité ci-dessus devient alors
la première intégrale est étendue au volume T, c'est un potentiel
FOSCTIOS DE GltEES ET PROliLEME DE DIIUV III.E T 171
newttuiicn dû ii des masses dont la densité variable est ;j.' ; la deuxii'nie intégrale est étendue au v<dume T\ et représente un poltn-
liel newtonien ilù ii des niasses dont la densité est -'— !- . (le sont
donc deux lonetions continues ainsi (jue leur dillV-rence. Or cette diflerence est nulle sur S, et en particulier au point M„, donc cette diflerence tend vers zéro quand M tend vers M„. La fonction V, (jui est comprise entre zéro et une quantité qui tend vers zéro, tend donc vers zéro.
Deuxième cas : |j.<().
Alors ^' est négatif et l'on démontre de la même manière que :
V, compris entre 0 et une quantité qui tend vers zéro, tend vers zéro quand M tend vers M^.
Troisième cas : <j. qncdconque.
On peut poser :
>JL = <X , -4- 'J.',. ,
a', étant égal il <x quand <j. est > 0 et nul partout ailleurs, <j.\ au contraire étant égal ii ;j. quand ;jl est < 0 et nul partout ailleurs ; 'j.\ et 'x\ sont continues comme ;jl. On donne ainsi naissance a deux fonctions V, et V., correspondant ii ;j.', et '^ .,; elles rentrent dans les deux cas précédents et tendent vers zéro quand M tend vers M„. Il en est donc de même de Y = ^ ', -j- ^ ^ qui correspond ;i <x.
Ainsi, en général, cjuel que soit le signe de u, ^ tend vers zéro quand M tend M^.
La fonction V satisfait aux quatre conditions du problème de Dirichlet transformé : c'est la solution cherchée.
En résumé les trois problèmes : de Dirichlet ordinaire, de Dirichlet transformé, de Green sont équivalents.
78. Cas du potentiel logarithmique . — Ces résultats s'étendent
17'^ TlIKOniE DU rOTEXTIEL yEWTOMES
au cas de deux variables et au potentiel logaiithnH([ue dans le plan.
11 y a cependant une différence : dans le cas du potentiel neAvtonien on ne sait résoudre le problème de Diriclilet que quand on sait lormer toutes les fonctions de Green relatives à tous les points du d(»niaine. Dans le cas du potentiel logarithmique, le calcul de la fonction de Green pour un point du domaine suffit : le calcul pour les autres points s'en déduit.
ciiAi'iniK V
lir.SOI.UTIOX 1)1 l'IlOliLr.MK i)K Diiiiciii.i/r DA.NS I.ES CAS DU CKRCI-l-: KT Dl'- l-A SPIIKUi:.
iiii-.onr.Mi; i)i: iiaunack
79. Fonction de Green pour le cas du cercle. — H <-st lacilc de lonnoila lonction de C.roon relative a un eeicle C de centre O et de rav<Mi a (iif. 54 i et à un point M' Intéiieur ii ce cercle.
l-iff. 14-
Traçons ()M ([ul rencontre le cercle en A et B et prenons sur cette droite le point M" conjugué harnu.ni([ue de M' par rapport h A et B. Soient d'autre i)art M un point (luelccnupie situe h l'intérieur de C et M, un point qu.dconciue situé sur le contour (le C. Posons : .,i
MM'=-r, MM'=V
On a la relation :
quel que soit le point Mj.
On a d'autre part :
et :
Posons alors
lo£r i±lo^-^=loP- —
loo- i- = lorr
G = log -^ + II
On a bien
II= — loo--V— lorr A AII = 0
et Je plus II prend bien sur C les mêmes valeurs que log —1 . D'où :
r' a G = loo- loo-
et G est la lonction de Green cherchée.
On peut suivre une marche analogue pour former la lonction de Green relative à un domaine constitué par la partie du plan qui est extérieure au cercle G.
Sachant trouver la fonction de Green pour le cas d'un cercle, on sait par lit même, comme nous l'avons vu, résoudre le problème de Dirichlet pour le cas du cercle. Il y a bien encore, il est vrai, quelques dilficultés. !Mais elles seront levées plus loin à propos de la sphère. Il est inutile d'insister sur le cas du cercle, la méthode à suivre étant la même que pour la sphère.
80. On peut suivre une méthode plus directe pour résoudre le problème de Dirichlet dans le cas du cercle.
Plaçons l'origine des coordonnées au centre du cercle donné G. Soit M' un point intérieur à G. Appelons x, y les coordonnées
RKSOLirioy DU l'JionLL.vj-: de uihiciilet 173
rectiliunes rectanfrulaircs de ce iH)int et 0, tu ses coordonnées polaires. On u :
X =^ p ces 0-)
V = 0 sin oj.
Cela posé, i>n veut trouver une fonction continue V possédant des dérivées partielles des deux premiers ordres elles-mêmes continues et vérifiant les conditions suivantes :
AV := 0 à riutérieur de C,
V = 'J5 ((0^ sur le contour de C,
o [uy étant une l'onction donnée. Si celte l'onction satislait ii la condition de Dirichlet, on peut la développer en série de Fourier :
O (w) = A^H-\ A„cosn(o4-^ B„ sin n(0.
Posons alors :
V = A„ + V A„o"cos nc.)+ VB„o"sinn(o.
Je dis que V est la solution eluMchée.
Remarquons ([ue nous avons sup})osé inq)lieitement le rayon du cercle C égal à l'unité. S'il était égal \\ \\^ il faudrait écrire :
V= A„ +^A„ [±^ cos ncu+^B„ (^-1. j sinnco 1 1
Mais rien ne serait changé pour cela aux raisonnements qui vont suivre.
Etudions la fonction V. Plaçons-nous d'abord en un point situé à l'intérieur du cercle C. En un tel point, on a :
Prenons p^ tel que :
Cela est possible. D'autre part il est facile d'assigner une limite
i;^ THÉORIE DU POTENTIEL N E W T O X I E S
siipérlouro X aux modules des coefficients de la série '^ (oj). Dans ces conditions, on a évidemment :
|A„p"cosnoj|<Np,; jB„p" sin 11(0 I < Xp,/' |AJ<X.
Les termes de la série V sont donc inférieurs en valeur absolue aux termes correspondants de la série :
N + 2VXV
qui est convergente et à termes tous positifs. Dtnic, dans tenu domaine intérieur au cercle C, la série \ est absolument et unilormément convergente et sa somme Y estune fonction continue. On démontre de la même façon que \' possède des dérivées partielles de tous les ordres elles-mêmes continues.
11 résulte des remarques précédentes que, pour montrer (|ue Ton a :
en tout point intérieur ;i (], il suflit de montrer (jue cha(|ue terme de la série \ satislait ;» cette relation. Or on a :
(x -j- iy^" -^^ p" l^cos 11(0 -|- i sin luo
Mais (x -\~ i y)" est une fonction analvtitpie ludomorplie de
