V- an' a\' / 1 V- \ z' i.w ' a-. \ z o
on' ,v\ V av
' Ov^ kW ' z àz
réquation clifTérentielle cherchée est donc : d:'\ 1 dV
dp- p dp
On connaît deux solutions particulières de cette équation
V=l V=logp.
L'intégrale générale est donc de la lorme :
(5) V = A + B.log-^,
qiii est une combinaison linéaire des deux précédentes. Calculons A et B pour un point intérieur. Au centre, le potentiel est :
pog-^|ji'dVo = M.log-^,
a étant le rayon de la circonférence. L'expression (5) doit donc se réduire à M log — ^ pour p = 0. Ce qui exige que l'on ait :
Le potentiel est donc constant en tout point intérieur et a pour valeur :
M a toujours la même signification : c'est la masse totale de la circonférence.
Passons au cas d'un point extérieur au cercle ; nous nous appuierons, pour traiter ce cas, sur une propriété démontrée au paragraphe (8) : quand p augmente indéfiniment, on a :
Lim(v— M log-^)= 0.
l'OTESTIEL LOG.iniTIIMIQLE DISE CI llC O S E É R E S C E ï\
Donc, quand, dans la formule (5), on lait aiionuMitcr •: indrliiiinient, V doit se réduire à
MlogA,
ce qui exige que Ion ait :
et donne pour la valeui' du potentiel :
V = Mlog-^.
Tout se passe comme si la masse totale était concentrée au centre du cercle.
13. — Iudi([uons encore une troisième méthode pour obtenir le potentiel newtonien d'une sphère et le potentiel logarithmique d'une circonférence.
Cette méthode repose sur la propriété suivante : Soient une sphère de centre O (fig. 10 >, M un point qui n'est pas sur la sphère, AB le diamètre issu de M, enfin M le point qui sur AB est conjugué harmonique de M par rap[)()rt a A et B. Si M est extérieur, M' est intérieur, et réciproquement; de plus, si l'on pose :
PM = r, .PM=r',
P étant un point quelconque de la surface de la sphère, les triano-les semblables OPM et OPM' donnent la relation :
— - = const. = -=-•.
quand le point P se déplace sur la sphère.
Cette propriété est vraie également de la circonférence de cercle.
Cela posé, proposons-nous de calculer le [)otentiel newtonien d'une surface sphéri([ne homogène.
24 THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOMEN
Supposons qu'on connaisse la valeur constante
du potentiel à Tintérieur; on peut en déduire l'expression du potentiel en un point extérieur quelconque M. Soient, en effet, V le
potentiel cherché en M et V le potentiel au point M' conjugué de M: on a :
d'où :
Or M' est intérieur, donc \ '
; la relation (6) donne V
Inversement : connaissant le potentiel à l'extérieur, on en déduit le potentiel à l'intérieur.
Par le même procédé, on peut trouver le potentiel logarithmique d'une circonférence en un point extérieur, quand on le connaît à l'intérieur du cercle. Soit, en effet, M le point extérieur où l'on veut calculer le potentiel V; soient JNI' le conjugué de M et V le potentiel en M'; on a :
V=/log-^ds', V'=Jlog^ds',
ATTRACTIOX D'iWE DROITE II O M O G L X E 'l'i
ds' étant rélémcnt traie de la eireonréreuee dont la densité est supp(
)osée égale à l'unité. On a :
Mloo-
Or
donc :
M log
14. Attraction d'une droite homogène sur un point extérieur. — Soit une droite attirante A 13, homttgi'ne, de densité jx' (fig. il). Supposons d'abord cette droite limitée aux points A et 13 et proposons-nous de calculer le potentiel newtonien de cette droite en un point M extérieur.
Prenons la droite AB pour axe des z et choisissons l'origine 0 entie les points A et B. Soient Q la projection du point M sur la droite, P un élément de longueur de celle-ci, ds' la longueur de cet élément; enfin appelons x,y, z les coordonnées du point M, x', y', z' celles du point P, et r la distance ]MP. On a : Fig. n.
ds' = dz',
QP = z' — z,
Posons en outre
OA = a, OB = — b ;
•i6 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEX
a et b sont des quantités positives si la direction de l'axe des z est celle du segment BA.
Le potentiel en M a pour expression :
a as /
La valeur de l'intégrale indéfinie est
;/log |(z' — z) + \/x^' + y^+(z'— z}-]. = [7.'log[QP — MP].
Remarquons que MP est essentiellement positif au lieu que PQ est doué de signe.
L'intégrale définie V a pour valeur :
