OY DX

Dy Dx

Donc X -]- i Y est une fonction analytique de x -|- iy. D'ailleurs il est évident que cette fonction n'a aucun point singulier dans le domaine D. Je dis qu'elle est uniforme. En effet on a :

af=dX+idY.

Mais :

rdX=(), /\lY = (), si (1 est un contour fermé situé tout enliei' dans I). D'où :

/ df=0 dans les mêmes conditions.

82. — Soient deux aires a et A liniilé<>s respe(iiv(>ment par les contours c et (1. Sujiposons qu'il existe une con-espondance univo([ue el i(''ci[)i(»([ue entre les poinis de a et ceux (\v A, ch' telle sorte (pi'ii tout point m de a coiresponch^ un point M d(> A et un seul, et réciprocpiement. On dit alors que l'on a elfeclué

Ri:SOLiTIO.\ DU l'noni.F.ME DE DIHICIII.irr i7<)

la rcp/cscnfal/o/i iiniforme des deux iiircs a ft A I'uik^ pai' 1 aiilic. Appelons X, V les coordonnéos dr m ft X. Y relies de M ; X, \ S(»iit d<'S loiict Kiiis iiiiiloi'ines de \. V el i('Cipi(M[iieiiieiit .

envisageons deux courbes tracées dans a et se coupant en \\\ : il leui' corresj)ontl deux courbes tracées dans A et se coupant en M, SI, comme nous le sup[)osons, la coi respiuidance établie entre a el A esl lelle (iiiii deux points iuiiniment voisins pris dans a coirespondenl deux [xnnts infiniment voisins dans A et récipro([uemenl .

Si Tangle des deux couil)es de A en M est ('gai à Tangle des deux combes de a en m. c Cst-ii-diie si les angles sont consecvés par la transloi-malioii. on dit (jue la représentation est con forme. 11 V a d ailleuis deux soites de représentations conlonnes : les (lifcclcs et les i/H'crscs, suivant que les angles coiiespondants sont ou non île même sens. Je ne m occuperai <[iie des i<'pi(''sentations conlonnes directes. Dans ce cas, X -[- i V doit èlic une lonction aiial\ti(pie de x-|-i\. D'où :