dans A

dX- ' OY-

Y = <1)(S) sur C

<I>(S) étant une lonction donnée de l'arc S de C.

En vertu d'une remarque faite au paragraphe 81, v est la partie réelle d'une lonction analytique holomorphe dex-f-iy :

v + i\v= f(x + iy)

mais on a :

X + iY = F(x + iy)

D'où :

v + iw=f^(X + iY)

On peut alors poser :

La fonction Y est harmonique dans A et prend sur C la même succession de valeurs que v sur c.

On sait résoudre le pi'ohlème deDirichlet pour un cercle. Donc ou peut le résoudre pour toutes les aires cpii sont conlormément représentahles sur un cercle.

84. (considérons encore une aire T. Si l'on connaît la fonction de (jreen relative au domaine T et à un point particulier M' de ce domaine, je dis que l'on pourra trouver toutes les fonctions de Cireen relatives au même domaine. Vax effet on a :

G = log-^ + II,

la fonction II étant définie par les égalités suivantes : AII=() dans T

11= — Ion- — 11- sur le conlour de T.

I-a fonction (1 est uniforme. De plus c'est la partie léelle d'une

lUJSOLlTJO.y DU PROU LE. ME DE DIinCIlLET i8i

ronction analytique de x -|- 1 y. Appelons (•' la loiielion (^ui lui est associée et posons :

G + iG' = f(x+iy).

La lonction (1' est-elle unilonne .' Xous ne pouvons j)as lalliimer, à cause de l'existence du point singulier situé en M'. Mais, pour voir ce (lu'il en est, il nous snKit de tracei" les courbes :

Nous savons ([u'elles s'enveloppent mutuellement ( .^ 73) et qu'elles contiennent toutes le point M' à leur int(''iieur. delà })osé,

désififuons par -r— et — ; — les dérivées prises respectivement sui- ^ ^ ds dn ^ ^

vaut la tanoente et la normale ii Tune de ces courbes. On a :

dG' dG

ds

dn

dG' dn ~

dG ds

dG'

•ds

le contour d'intéoration étant Tune des courbes

Or, nous avons vu ([ue

jinr''^ =--■••

Donc :

['dG' = — 2-

et la fonction G' n'est pas uniloime, puisqu'elle augmente de — 1~ (piand on lait décrire au point x, y un contour lermé entourant le point M'. Toutefois, si la fonction G' n'est pas uniforme, il n'en est pas de même de la fonction :

iSi TUKOniE DU POTENTIEL SEWTOMES

Donc on pont poser :

e^'+'«' = f;(x + îy)=X + iY,

I", étant une lonction analytique unilonne de x -)- i v. Maintenant, considérons le cercle :

Je dis que nous pouvons faire la représentation conlorine de Taire T sur ce cercle. On a :

Donc les courbes :

se translorinent en les cercles concentri(jues :

D'ailleui's la couibe :

<[ui n'est autre que le contour de Taire T devient le ceicle :

La représentation est ainsi réalisée. Va\ consé(|uence, on })eut résoudre le problème de Dirichlet pour Taire T et par suite trouver toutes les lonctions de Green relatives h ce domaine. La ])roposition annoncée est donc établie.

(le théoième n'est plus vrai dans le cas de l'espace.

85. Résolution du problème de Dirichlet pour le cas de la sphère. — Nous avons déjà iormé (s^ 72 la lonction de Green relative ;i une sphère et ii un point M' situé ii Tintéiieur de celle-ci. Si Ton appelle (fig. 55': :

a le rayon de la sphère,

p la distance OM',

r la distance M^T

r'.... la distance M^\" , on a :

r pr

RI-:SOLUTIO.\ Ur PKOIU.EME de DIllICll I.ET i8i

Vax tout point de la surlaco île la sphi'r»'. la irlafion :

est véritiéo. puis<[uo les points M ot M sont conjugues harmoniques par rapport à la sphère.

Posons : ^^-.

fj = M,()>l'

.p = OM,M'