NM

cUi cos ■:> a cos i

Ah>rs

de;

Kn eflet r— est la projection sur le ravon O M, des attrac-

Fig. 55.

a lions dues à deux niasses, lune -\- 1 située en ^I . 1 autre

située en M . On peut d'ailleurs facilement vérifier la formule précédente par un calcul direct. Translormons lexpression de -; — : ^ ^ dn

dC; r cos -^ a r' cos ■]/

dn r' z r'^

i84 THÉORIE DU rOTENTIEL NEWTOMEN

Or on a sur la sphère :

D^où

Mais

clG r cos 'J p ' r' oos '\

r cos

'i = a — p cos f)

r' cos 'h = cos 0 — a.

Renipla

dG a — p dn r

P cos Q — - —

,, . dG . 1 ^ 1

On voit que -j — est proportionnel a — — . dn r*

Cela posé, cherchons à résoudre le problème de Dirichlet pour le cas de la sphère. Il s'agit de construire une fonction V régulière en tous les points situés à l'intérieur de la sphère et satisfaisant aux conditions suivantes :

AV = 0 à l'intérieur,

V= une fonction donnée ii la surface

Appelons V la valeur de la fonction inconnue en un point M situé à l'intérieur de la sphère et V la valeur donnée de cette même fonction en un point M' de la surface. Soient, d'autre part, (!(■)' un élément infinitésimal de cette surface et G la fonction de Green ayant le point M pour pôle. On a [% 75) :

1 /' dG ,

le champ d'intégration étant la surface de la sphère. Gette formule permet de résoudre le problème que nous nous sommes posé. Mais il y a deux objections possildes :

RÉSOLUTIOS DU P RO i: L II M E DE DUUC lU.ET i8i

1" — — existe-t-il ? Nous avons vu plus iiaul »[uc oui.

(In

2° la méthode suivie suppose (jue Ton admette d'avance

l'existence de la solution cheichée.

Pour atteindre une rigueur parCaite, il nous laut t'-tahlir ([u<' la fonction V construite au moyen de la lormule précédente lemplit l)ien toutes les conditions imposées :i la (onction cherchée, (l'est ce que nous allons faire. Nous sommes ainsi amenés ii discuter une intégrale connue sous le nom àlntèisrale de Poisson.