OU OU

+ y -xr-+ /. -r-

En efïet :

Vx- + v' + z' .

Laissons alors 0 et es constants, mais donnons ii o un accroissement Infiniment petit do. Nous passons ainsi du point dont les coordonnées sont 0. f), c3 au point dont les coordonnées sont o -4- do. 0, c5. On a :

dz.

en appelant x, y, z et x -f- dx, y + dv, z -|- dz les coordonnées cartésiennes des points M et M' (fig. 56) dont les coordonnées

polaires sont p. (j, cp, et p -|- do,fJ, cp. Remar([uons (jue dx. dv, dz sont les projections orthogonales de dp sui' les ti'ois axes de coordonnées. ])'où :

dx dy dz dp

Nous pouvons remplacer :

dx, dy, dz, dp

/t/:soLiTi().\ i)L l'iioiu.k.Mi-: ur. uinu iii.i: r par (les (juaiitités ju'ojxmI umiielles. Ou coiu'lul de lit :

or ^x or (H'

' ()0 tix (»V oz

(]'est ce ([ue nous voulions dahlir.

On a :

' Oo V ' Oo I) anlie j)art, on peut ('criie :

r'- =■ a- + p" — 2 ap oos 0 en posant (Ho-. 55* :

0 = MOM' On tire de là :

rdr = otlo — a cos OiU

c est-à-dire

Par suite

dr p — a cos 0

i Or r- ~Ô7

a cos h — 0

Don<

9, OU /' , 2apcosfj — 2p- r , a- — p-— r'-

' Op ,/ ' r= j ' r '

Or :

U=/-f de'

et :

dc.y.

i8H THÉORIE DU POTESTIEL SEWTOyiEy

C.ette relation va jouer un rôle essentiel dans nos raisonnements.

La fonction U est un potentiel newtonien dû à une surlace attirante. Donc U a des dérivées partielles de tous les ordres qui sont finies et continues, en tout point situé à Tintérieur de la sphère. De plus on a :

dU dans le même domaine. Maintenant il est clair que o — j — est aussi

.? , une lonction continue et possède des dérivées a l'infini. En outre,

on a :

lui effet, de la lormule :