UI

La relation :

est ainsi vérifiée.

V.n un mot, il résulte des remarques précédentes que V est une lonction harmonique dans la sphère.

nr.sor.i Tioy ni ru o m. i: m !■: m-: diuic iilf.t

11 nous reste à constater ([ue V 'x, y, z) teiul vers V (x',y',z') quand le point M (x, y, z) tend par un ciiemiii (pielconque vers le j)oint M' (\\ y', 7.') de la surl'ace de la sphi-re.

Fig. ^7.

Rappelons d'abord un résullaî «Hal)]! datis la théorie des surfaces attirantes. Soient (lig. 57) :

S une surface attirante.

M un point fixe de S.

M un point de l'espace.

X, V, z les coordonnées de M.

MM la droite qui joint M à M^.

M' un point de S.

x', v', z' les coordonnées de M'.

a' une fonction de x', y', z'.

>jL„ la valeur de \j.' en M„.

Supposons que le point M tende vers le point M„ en suivant la droite fixe MM„. Prenons la normale à S en M„ pour axe des z et le plan tangent ii S en M,, pour plan des x, y, les axes de coordonnées étant (['ailleurs rectangulaires, (x)nsidérons maintenant

l'intéorale :

i '/-[J- Of'>

190 THÉORIE DU rOTESTlEL SEWTOyiEy

V étant la distance MM'. Si les axes sont (|uelcon<[ues, on a :

X étant la projection de M sur la normale en M^, projection laite parallèlement au plan tangent en M,,. Le champ d'intégration est toujours la surlace S dont d'o est un élément. Cela p(tsé, on sait que :

Appliquons cela.

On a (fi g. 58)

a-— p- /• :^M„Ndo/

Si M tend veis [M,,, N v tcnti aussi. Dans ce cas, on a

MyX =^ a — ().\ ^ a — p cos y.,

a étanl langlc ]M()X, ce qui prouve que :

lim MyX = lim (^a — p).

ri: soLUTioy uc mon/./: m/: /j/: /jiit/( iii.kt lyi

Daulic paît, eu vertu du leuuue rappelt' [)lus haut, ou a :

lim /

\)\ni :

lim ^ = 4 -w'x

ce ([

m (louiit' hien :

V.w dcliullive, il est |>i'()uvé ([ue la louctiou ^ if-sout le piol^lèiue Je Diriclilet daus le cas de la sphère.