Uepreuous la formule
Ou sait ([ue l est le poteutiel dû ii uue certaine couch(> de malii're attiiante répandue sur la surlace de la sphère. Aiu'uiu' des masses ([ui eugeudi'eut L n'est située ii liutérieur de la sphère. Donc v; 23 . daus ce domaine, L est développahle en série de [xdvuônu's s[)hériques :
u = n^,+ n, + II, +..... + n„ + ...
( )ii peut éci'ii'e :
X„ étant uue fonction sphéri(|ue. D'où
U=X„ + pX,+ p-^X^.+ .-.+p"X„+...
Les quantités X^ ne dépendent ([ue de 0 et z. I) où :
C^es deux séries si>nl convergentes pour :
On déduit de la qu'il l'intérieur de la sphère V est développahle en série de polynômes sphéritpies :
V = S 2n + li c"X„ = I 2n+i II,.
ig-i
Ce développement est valable pour tout domaine contenu dans la sphère.
On ne peut pas, en général, modifier l'ordre des termes dans les séries précédentes et ordonner par rapport à x, y, z. Cependant cette opération est possible (^^ 24) si :
p<Aa,
A étant une constante sultisamment petite. Donc V est une l'onction holomorphe dans le voisinage du centre. Il en est do même d'ailleurs en tout autre point de la sphère, comme on le verrait en ordonnant les développements par rapport à x — x^, y — y,,, z — z^, si l'on appelle x^ y^ z^ les coordonnées du point considéré.
Fig. jf).
Tirons de là une importante consé(|uence. Soit un domaine T dans lequel une fonction V est harmonique. Prenons un point M quelconque à l'intérieur de ce domaine et entourons ce point (lig. 59) d'une sphère S assujettie seulement il ne pas sortir de T. La fonction V est harmonique dans S. Donc on peut trouver une nouvelle sphère S ayant pour centre le point M, contenue dans S et assez petite pour que V soit dévcloppable dans S en série entière procédant suivant les puissances de x — x^, y — y^, z — z^ (si l'on appelle x„, v„, z„ les coordonnées de ^\). Donc la fonction V est holomorphe en loiil point de T.
88. Méthode de Thomson. — f.in isag(M)ns une transformation ponctuelle de l'espace par lavons vecteurs réciprcxpies. Plaçons ((ig. ()0) l'origine des coordonnées au pôle d'inversion () et supposons (|ue la sphi-re directrice ait un rayon égal à l'unité de
Ri:SOLLTIO.\ DU P IlO fi LK M /: DU DiniCIILI.T
lontçueur. Si M et Mj sont doux points corrcspondanls, on sait (luils sont en li|^n(> di'oite avec l'origine et (jue Ton a :
Vovons les applications de cette niétliode de transloinialion il l'étude du potentiel.
1°... Cas (l'un seul jjoi/il attirant. — Soient (lig. (il^ M' un
Fi^. (i(
])oint attirant et M un point attiré. Au point M' correspond le point M'j et au point M le point Mj. Posons :
OM = p, OM =0', OM, = p„ O.M'^
On a
et :
MM=r, M,M.=r,
à cause de la similitude évidente des trian<;les OMM' et OM.M' ,
Supposons (|ue le })oint M' porte une niasse m' et le point M ,
une masse m'^. (^uant aux points M et M^, leurs masses sont par
hypothèse égales ii +1. Alors, si nous appelons ^ le potentiel
PoiNCARÉ. Potenl. Nt'wt. 1 '5
194 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONlEîi
du à laction de M' sur M et Yj le potentiel dû à raction de M', sur Mj, nous avons :
D'où
Or:
Par suite
Choisissons m', de telle façon (jue :
m' rj >' !•
Puisque m' est donné, on voit que m\ peut être déterminé. De
ni plus, le rapport — ) est indépendant de p. On a alors :
c'est-a-dire :
2". .. C'rts f/e plusieurs points formant un ensemble discret. — Soient M un point attiré portant l'unité de niasse et :
un système de p points attirants portant lespeetivemenl les
masses :
ni, ni., nii nij,.
Le potentiel produit en M est :
en désignant par r;, la distance MM|.
RKsof.iTios DU nnoriLÈMi-: oi: dikk iilei igî
Appelons M' le poiiil (pii corrosponil ii M dans rinvcrsion el :
ceux (jni correspondent à :
Posons en aénéral
On a
et
MM, = ri, MM'i = rV
pour tontes les valeurs de l'indice i depuis 1 juscpi'à p. Altachons maintenant ;i clnupie point M , la masse m'; détermin«''e par la relation :
iMi ~ p. ~ '^ ■'
D'autre part, considérons le potentiel Y produit en M' par l'attraction des points M'j :
On a
D'où :
Comme on a
iglî THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
on en déduit :
3°. . . Cas d'un volume attirant. — Considérons un volumo attirant T où la densité de la matière est |ji. en chaque élément de volume àz dont le centre de gravité est le point M. Soit P un point attiré portant l'unité de masse. Appelons r la distance MP. Le potentiel produit en P est :
\jAz
Transformons par inversion. Le volume T devient un volume T' où la densité de la matière est^' en chaque élément de volume dx' dont le centre de gravité est le point M'. Soit P' le point qui correspond à P. Appelons r' la distance M'P'. Le potentiel produit en P' par T' est :
v'=/'Ji:^.
J(ïi) r'
Le point ^L est supposé, lui aussi, porter Tunité de masse. Ouant il p.', on peut le choisir arbitrairement. Posons :
en appelant p^ la distance OM et p'ji, la distance OM'. Désignons encore par p la distance OP et par p' la distance OP'. On a :
et
p AI/
pM
Prenons donc :
ni:soLr nos du i'ROdlkmf. de diuiciilet k.»:
Alors la relation :
est bien vérifiée. D'où :
On en eonelnt :
4° Cas d'une .surface attirante. — Conservons les mêmes notations, en remplaçant seulement les éléments de volume cIt et dpar les éléments de surface dto' et do/. On a ici :
dto' ,. 1
On prend donc
et l'on a encore
D'où
do/ 1 ,
TÏ7~ — "T-— ?M-
V'=-.V, V=oV'.
b'^ Cas d'une ligne attirante. — Conservons toujours les mêmes notations, mais en remplaçant les éléments de surlace dw et do/ par les éléments de longueur ds et ds'. On a ici :
ds' ,^
On prend donc
et l'on a encore
/ds' 1 ,
THEORIE DU POTESTIEL \E\VTOMEy
D'où
V = pY, Y = pV.
5° Remarque. — Dans tous les cas examinés, on a :
Supposons que P' s'éloigne i» Tinfini, alors P tend vers l'origine, 0 tend vers zéro et V reste fini. Donc V tend vers zéro.
Supposons maintenant que P s'éloigne ii l'infini. Alors oY tend vers la valeur A de la masse totale qui engendre le potentiel Y. Il en est donc de même de Y' quand P' tend vers l'origine.
89. Equivalence des problèmes de Dirichlet intérieur et extérieur. — Soit une l'onction Y, (fig. ()2 ■ harmonique à l'extérieur d'une
(.Sii
Fig. (yi.
surlace lermée S,, s'annulant i» l'infini et prenant sur S, des valeurs données. Admettons que les dérivées premières de Y, restent finies et continues même sur S,. On peut alors construire une fonction définie, uniforme et continue i» l'intérieur de S,, qui prenne sur S^ les mêmes valeurs que \\ et qui possède à 1 intérieur de Y, des dérivées continues des trois premiers ordres. Cette nouvelle fonction peut être regardée comme un prolongement de la fonction \ ^. On a :
AY, ==0... it l'extérieur de S, AY, :^0... il l'intérieur de S,.
De ])lus les dérivées de Y, sont en général discontinues quand on traverse la surface Sj. Dans ces conditions, il est clair que Yj peut être regardé comme la somme de deux potentiels, l'un dû il une couche attirante répandue sur Sj, l'autre dû à des masses
UHsonTioy DU i' /{ () Il /. /■: M /: ui: ijiiiiciii.irr 199
(lislriluM'cs à 1 iiiltMiciii' de S,. l'IUV'ctuons iii;iiiit<'ii;uit la tiaiisloiinatioii (le Thornson. I,t' jxdfiitirl \ ^ devient uu potentiel \ et. en deux points i'(H'iespondants on a la ((dation :
Par' cette même transformation, la surface S, devient une nouvelle suilace fermée S et, si le pôle d'inversion a été pris ii 1 intéi'ieur d(» S|, l'espace exteiieur ii S, devient l'espace intérieur il S. L(^ potentiel \ est du :i des masses extérieures à S ou situées sur S. Donc, ii 1 intérieur de S, on a :
Donc V est harmoni([ue. De plus ^' prend sui' S des valeurs ([ui sont données par la relation :
On voit par là comment on peut ramener le problème extérieur de Dirichlet au prohli'me intc-rieur, et récipro([uement.
J'indiquerai seulement, pour terminer, que, si la fonction :
^'1 >» y> zO
est harmonique ii l'extérieur de S^, la (onction :
est liaiinoni(jue à l'intérieur de S. C'est ce que nous venons de voir. On pinit le vérifier par un calcul direct.
