V|<4-XA
Cela posé, considérons une double couche quelconque S
Fig- 77
i(ig. 77 . Soit M le point attiré; supposons que ce point tende vers un point M^ de la surlace où la densité est [jl^. Posons
(l'est le potentiel d'une doul)le couche dont la densité est constante. Comparons ce potentiel ;i celui de la double couche donnée :
Pour cela, envisageons l'intégrale
U =J (a — uj d?'.
On a :
Xous savons C(unnicnt se comporte hi lonclion \\ ; eUe a été étudiée au paragraphe précé(h'nt.
hltudions la lonctlon l' et vovons comment elle se comporte
DO m LES corriiE.'i ^-^9
(luaiul M tciul vers M^,. (lotte ronctioii est un potentiel tle doiihle eniuhe dont la densiti* est varial)le, mais piésente ceci de |)articulit'i' (jnelle est nulle an point M,^. Nous allons nn>ntrer (|ue ce potentiel reste eonlinu quand le point M tend vers M,j.
Du point M„ comme centre décrivons une sphère de rayon o. dette sphèi-e partage la surface S en deux paities : lune S' est comprise ;i riulcrieur de la s{)hèr<^ l'auti'e S' est constitu<''<' pai' le reste de la sui'Iace S.
Appelons U' et L" les potentiels dus respeclivemenl à S et S'; on a :
Désignons, en outre, par U„, U'y, L '„ les valeurs de L', U', U", au point M,j. Nous voulons démontrer que Ton a
lin,|L' — l'„l = 0
(uiand M tend vers M„, c'est-à-dire (jue l'on peut prendre M assez voisin de M„ pour satisfaire à l'inégalité
z étant un nombre donnt'- ii l'avance aussi petit ([u'on le veut. Pour cela. remar(pu)ns que l'on a
,1) li:-i'«I<K'-r;i+li:"-u"„l.
Ola posé, observons que, |j.' étant fini sur la sui-lace S, 'j.' — y., l'est aussi et (|ue l'on peut assigner au module de cette dillereiice une limite supérieure a sur la surface S' ; on a donc, en tout point de S' :
d'où, en vertu d'une inégalité démontrée plus haut :
ll'|<47:Xa
et
|U'J<47:Na.
Comme u.' est supposée continue, on peut restreindre assez la
■i'Jo THÉORIE DU rOTESTIEL NEWTOXIEN
siirlace S\ c'est-ii-clire prenche p assez petit, pour que Ton ait
