Xa
et (luaiiisi l'on ait :
(2) lU'-I-"ol<-.5--
p étant ainsi iixé, la surlace S' est bien déterminée ainsi que la surface S". (Considérons alors la dlderence U" — U"y ; la fonction U ", étant le potentiel de S", est holoniorphe en tout point (jui n'est pas sur S" et en particulier au voisinage de M^ ; on peut donc choisir le point !M assez près de M^ pour que l'on ait :
G^) l^"'-^"'ol<4-
Rapprochons alors les inégalités (2) et (,')) de l'inégalité (1); on voit que l'on a :
La lonction U reste donc continue au voisinage du point M^, c'est-à-dire (juand M tend vers M^ et le dépasse.
Remarquons que M peut tendre vei's M^ de trois façons :
1° En restant extérieur ii S, et du côté positif ;
2" En restant extérieur, et du côté négatif;
.'5" En restant sur la surface.
I^a démonstration précédente s'applique dans ces trois cas.
Revenons maintenant ii l'expression de V :
Puisque U reste continue au voisinage de M^,, V épi'ouve en ce point les mêmes discontinuités que \\ . (les discontinuités ont été étudiées au paragraphe précédent ; servons-nous des résultats de cette étude, nous o])tenons pour A les conclusions suivantes :
1" Lorsque le point attiré J/, d'abord extérieur à la surfaee^ se déplaec et la trai>erse en un poi/it oit la densité est a^, le potentiel de la double eoue/ie ero/t brus(jueniei>t de 4-|j.|, si le j>oinl M passe du eôté néi^atif au eôté positif de la surfaee.
Dorii/.rs COI c //ES -i'U
2" Le potentiel d'itne double eour/te reste eoiilinu sur la surfciee.
3" Sa calenr, en un point de lu snrfdie, est la moyenne arithniètiaiie des valeurs (jull prend en deii.r poi/its in /Ininient voisins du premier, mais situés de part et d'autre de la surface.
104. — Le [)remier de ces résultats, que nous venons d'ctahllr directement, pouvait être obtenu immédiatement comme conséquence de la théorie des surfaces attirantes.
Xons avons démontré plus haut, en eflet, la Cormuh' suivante (99j :
iU^ OU, (U^^
(\\ ' Ov ' Oz
UpUjjUj étant trois potentiels de simple couche :
. y. 'j. ao>
/ a 'j. Cl " J r
'•j.'dw'
Supposons que le point M, d abord e\téri(nii" à la suiTace S,
tende vers un point M,, de celle-ci et la franchisse en ce point ;
les dérivées premières ^ , ^ '■ , — —-^ éprouvent des ciisconti-
* ox ov Oz
nuités (voir n" 51;.
(les discontinuités ont pour valeur :
pour ^ — 4-7. \j, .% = — 4-a-'i.
* ux
Oz ' ' '
Le saut brusque de V est donc :
c'est la valeur trouvée précédemment.
'232 THÉORIE DU POTEMIEL XEWrOMEy
Remahque I. — Nous avons appelé (c densité », dans ce qui précède, Uujuantité |ji.' ; en réalité, la densité de la double couche est le quotient de ^' par la quantité très petite t qui représente l'épaisseur de la double couche. Mais, pour simplifier, nous continuerons à donner le nom de densité à la quantité ;j.'.
Remahqi'e II. — Nous avons vu, dans la théorie du potentiel des simples couches, qu'un tel potentiel reste continu dans tout l'espace, même quand on franchit la surface. Ou peut s'étonner de ce que le potentiel d'une double couche éprouve une discontinuité quand on franchit la surface, une double couche n'étant en somme que l'ensemble de deux simples couches très voisines.
delà s'explique l^ieu facilement. Appelons S, et S^ les deux simples couches très voisines et soit s leur distance. Quand on franchit la surface S,, puis la surlace S„ le potentiel reste continu, mais il varie très rapidement entre Sj et S^; en effet, les attractions des deux surfaces s'ajoutent dans l'espace qu'elles conq^rennent et, comme on suppose la densité très grande, la dérivée du potentiel est très grande elle-même dans cet espace. La variation du potentiel est alors d'autant |)lus rapide que la distance t est plus petite.
En général, on suppose cette distance infiniment petite et la densité inhniment grande, de manière que le produit [j.' de ces deux (juantités reste fini; on considère alors les deux surfaces S, et Sg comme confondues avec une même surface S. Dans ce cas limite, qui n'est (ju'une fiction analytique et ne correspond plus î» rien de physi([uç, on s'explique bien la discontinuité du potentiel ainsi obtenu.
.Vjoutons que ce ([ue l'on appelle alors côté positif de la surface c'est le côté défini par les cosinus directeui's a', ^', *'' <jui entreni dans l'expression de Y.
105. Etude des dérivées secondes d'un potentiel de simple couche. Cas d'une surface plane. — Xous avons vu qu'un jiotentiel de doulde couche s'exprime par des dérivées premières de jiotentiels de simple couche. L'étude des dérivées premières d'un potentiel de (loul>le couche se ramène donc îi l'cMude des dérivées secondes d'un potentiel de simple couche.
DOUBLES COUCHES iTS
(l'ost cette (.lernière étude (jue nous allons faire niaiiiteiiaiit. Nous conimencei'ons pai' un cas simple, celui d'une surlace plane.
Soit donc S une portion de suilace plane attirante limitée pai' une courbe i'..
Prenons ce plan comme plan des x\ . Appelons l le p(»tentiel; on a, en conservant les notations hahitnelles :
(le potentiel est une (onction pane en z. c Cst-ii-dire (pii ne elKin^e
pas quand on change z en — z. Par suite, la d/'iivi'e ])i'emière -^: — I 1 r. I ^,^
est une lonction impaire et la deiivee secoiule ,■ une lonction
Oz" paire.
Pienons alors deux pt)ints symétriques par rapport an plan des
xy; les deux valeurs correspondantes de ., sont égales et pai-
consé([uent tendent vers la même limite quand les deux points
tendent 1 un vers 1 autre. I.adéiivée seconde , leste dcuic eon-
tinue ([uand on Irancliit la surlace.
Au contraire, la dérivée i)remière — — éprcuive une disconti-
Oz
nuité et lait un saut hiusque égal à ^~'j! . Quant aux dérivées tanoentielles, elles restent continues. Montrons- le par exemple
OU iiour — — ; on a :
Ox
ce qui peut s'écrire :
OU Ox
dxdv'
ou, en intégrant par parties,
OU /' adv /' O'j.' dxdv'
OL /' \i- tly /' 0|j.
234 THÉORIE DU POTESriEL NEWrOMEy
L;i première de ces deux dernières intégrales est une intégrale cui'vilif^ne étendue au contour C ; la seconde est une intégrale de surface étendue à l'aire attirante S.
L'intégrale curviligne est un potentiel de ligne attirante et reste évidemment continue quand on traverse la surface en un point qui n'est pas situé sur le contour Ç..
L'intégrale de surface est un potentiel de surlaccqui reste continu dans les mêmes conditions. On peut donc conclure que -- — ■
reste continu quand on traverse la surface, sauf, peut-être, au voisinage du contour limite. La même démonstration s'applique , OU
Comme on le voit, cette démonstration suppose que la densité [x' est continue et admet des dérivées premières. Examinons maintenant les dérivées secondes de Lî.
Lu vertu de la relation (1), on voit que la dérivée subit
OxOz
un saut brusque égal a — 47:—^; de même, — -— — lait un saut " Ox OvOz
^ , , Oa' 0-^u 0-U O^U brusque éi^al a — 4- — ^ ; -^^r -^r^r ? ^ ^ restent continues; ^ ^ Ov' Ox- 5 Oy^ OxOv
quant a -^-j- , nous avons vu que c est une lonction paire et que
les deux limites vers lesquelles elle tend quand on approche de la surface en dessus et en dessous sont égales. Cela suppose, il est vrai, que ces limites existent. On démontre facilement (pi'il en est
. . , , ,. . . oa: 0-U
ainsi : les deux dérivées ^ , et restent continues et ont par
Ox^ 0)-
conséquent des limites quand on s'approche de la surlace; d'autre part, en tout point extérieur à la surface, on a :
La dillerence :
0^1 oa: \ O^U
Ox- Ov" / Oz"
est donc elle-même continue.
Tout ceci suppose que la densité ;jl' a des dérivées secondes qui restent finies.
Dorni.r.s roccz/rs
106- Cas d'une surface attirante quelconque. — Soit S une surface attii-antc (jiielc'<)iH|iie li<^. 78 , -M„iiii jiniiit delà surface, M le point attiré (jiii tend vers ce point en suivant la tlroitc MM,,.
Prenons le point M,^ comme origine des coortlonnées ; nous supjiosei'ons (pic la snriace admet en ce ])oint un plan tangent hien
déterminé (pie nous prendrons comme plan des x y, et des rayons de courbure principaux bien déterminés; enfin nous nous place-
rons en coordonnées rectanfjulaires.
Reprenons les notations adoptées au paragraphe 40: soit 1' un point quelconque de la surface et P' sa projection sur le plan des xy. ^lenons les droites MP, MP', M^P, M„P et posons :
MP
