MP

Appelons x, v. z les coordonnées du point M et x', y', z celles du point P ; on a :

Si, maintenant, on désigne par do/ un élément de S, par dx'dy' sa projection sur le plan des xv et pai- a', j , *' les cosinus direc-

THÉORIE DU POTEMIEL ^EWTOMEN

teiirs de la normale à la surface en un point quelconque P de celle-ci, le potentiel U au point ^I pourra s'écrire :

/' [jlcIol)' /' |j.'dx'dy' J V J r'r

Posons :

La fonction L' est le potentiel en M d'une portion de surface

plane attirante, la densité étant représentée par la lonction -^ ;

cette surface plane est la partie du plan des xy qui comprend l'ensemble des projections des éléments dto' de S.

Nous avons lait, dans le pai-agraphe précédent, l'étude de la fonction U' ; nous allons y ramener celle de la (onction U.

Posons pour cela :

et étudions la lonction W.

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que la densité jjl' est continue ainsi que ses dérivées premières et qu'elle admet des dérivées secondes qui restent finies. Nous avions déjii fait cette hvpothèse pour faire l'étude des dérivées secondes de l '.

(lonsidéi'ons une dérivée d'ordre quelcon([ue de ^^ ; appelonsla ])\\ poui' abréger ; elle sera de la iorme :

DW=|'cp(x',y')dx'dy'.

Supposons qu'on ait démontré l'inégalité :

:ii

k ('tant un nombre positil (juelcoiupie , mais fixe; je dis alors ([ue 1)\V tend vers une limite ([uand M tend vers M^, en suivant la droite MM„.

Pour le voir, traçons dans le plan des xy un cercle (/' de rayon 0 ayant M„ pour centre; ce cei'cle est la pr(tjeclion dune ligne C tracée sur S et entourant M^,. La surlace S est ainsi partagée en deux parties S' et S", S' étant celle qui contient My.

D or II LES COI LUES ij;

I^oui' tout point do S on a : i\,' < o, et pour tout point de S :

A chaeune de ces paities corcespond une loneti(Ui\\ : appelons

\\ et ^^ ces deux fonctions; on a :

delà posé, reniai(|Uons ([n'en vertu de linégalité 1 , on a \Y)\\'\<f-

kdv'dv'

dette intéorale est étendue au ceicle liniitt" ])ai' la circonlerenceC/; translornions-la en prenant des cooitlouni-es j)olaires; ]>osons :

x'^^r^cosO; v^^^r^sinO.

L'intégrale peut alors s'écrire :

/' kdx'dv' , r-^- p , , ,, -, / ^^- = kj I drodfj = 2-k =

i 'ci t. ij t. g

et l'on a par suite :

(2.1 lD\Vl<2-ko.

Observons d'ailleurs (lue, la fonction 'i satisfaisant ii l'inéo-a-

lité (il, l'intégrale

D^^' = Ç's dx'dy'

a un sens au point M„ : appelons alors D^\ „ sa valeur en ce point et DW/, D^^ V celles des fonctions ]J^^ , 1)W au même j)oint. On a évidemment :

Dw — Dw, = ])\v' — D^\\;+])^\ — DWo

d'où

lD^v D^vJ<lD^\— i)\Vo!+|D\\ — D\v;i

Or, je me propose de montiei- que l'on a : lim^DW— DW;=o

238 THÉORIE DU POTEMIEL SEWTOMEN

(juancl le point M tend vers M,,, c'est-à-dire que l'on peut choisir le point M assez voisin de M^, pour que l'on ait :

|l)W-DWj<s,

£ e'tant \\\\ nombre positil donné aussi petit que l'on voudi'a.

Vax veitu de l'inégalité (2), îi laquelle DW„ satisfait aussi, on peut choisir p assez petit poni' que l'on ait à la (ois :

et par consé(juent :

|DW-DW;|<^

p étant ainsi fixé, les domaines S' et S' sont bien délimités et l'on peut prendre le point M assez voisin de M„ pour <pie l'on ait :

|DW'' — DW:i<-i-.

delà est possible car, le point M^ étant extérieur ii S ", la lonction ^^ " est holomorphe au voisinage de ce point. La position de M étant ainsi choisie, on a :

imv — Dwj<£.

11 est ainsi démontre'' ([ue la lonction ])^^ tend vers la valeur I)^\„ ([u'elle a au point M,,, (piancl M tend vers ce point, et cela, ((uel que soit le chemin suivi. Cette fonction reste donc continue ([uand on franchit la suilace.

Si une (onclion -i satislaisaut à une inéo-alité de la forme :

est dite cVordrc //, le théorème précédent poui'ra s'exprimer ainsi : (piand on (ranchit la surface, une déiivée l)^^' reste continue si la lonction sous le signe | est d'ordre 1 .

Dornr.F.s coiciies ilg

l^KM.vnQn:. — On peut ('iimifcr les deux prctpositioiis suivantes (pii sont l'videntes :

J" Le produit de deux lonctions (pii sont respeetiveinent d (tidie ni et d'ordi'c n est d'oidre ni-f-n.

2° I/inverse d'une louctiou d'ordre i n'est pas loicénient d Oiclie — 1.

107. On peut ('iioneer dans ee langage tous les tlit^orènies établis (chap. III) sur les suilaees attirantes, l^ir exemple les iiu'galitt's du ^^ 40 montrent ([ue :

z est d'ortlre 2

Il ri,

■ — et — - sont cl oidre i

— r est d Ordre 0

, -^ ^ sont d ordre 0.

l'^n général le rapport

OÙ Ton suppose m +p > a -|- 1) -f- e, est d'ordre

ete.

Considérons maintenant la (onction W envisagée précédemment ; elle a pour expression :

(>alculons-en les dérivées premières et secondes ; pour cela,

calculons d'abord les dérivées de ■ — et de — r • On a :

ij. 1 3(x--x,' i ,^ j :-i(x'-x;y-yi

',0 rUEORIE DU

POTENTIEL NEWTOMEiX

3(z'— zj(x'-

c même :

On a donc

cUo'

Dx-

Oy^ (V\V

Ox()y

Oyôz

= j^.'[:Ux - X) (V - y) (-L J) ] ,1,.,^

!W.jV[:Kx'-x)(^+-^)].,„.'.

DOIDI.ICS COrC/IES liji

Je vais (IciiiontifM' les piopositions suivantes ;

l" Oiiaiid im liaïuhit la siiilace, les cl(''iiv(''es premières Je W restent continues.

2" Au eontraiie, les ch'-rivées secondes épiouvent des discontinuités, sani si la densitf- u,j, au point où Ton traverse la surface, est nulle.

108. ()ccu[)ons-nous d'al)ord des dérivées premièi'es. (Considérons — — ; la lonctictn sous le signe / est :

(/est un })rodult de deux (acteurs; le premier, <x\ est doidre zéro. Montrons ([ue le second est d'ordre 1. On ])eiit Ic'crire :

(i) :V-x)ir'-r|-LH L, H Ll.

. / / N 1^ j.lj.' j.-j. - j.j. ( J

Cette expression est la somme de trois termes. Le premier

vh-'

est évidemment d Ordre 1 ; en ellet : ; — est d'ordre 0; de plus

r' — r est d'ordre — 2. car on a :

entin — — est d ordre .>; le produit ;— est donc

d'ordre 1.

Il en est de même pour les deux auties termes de l'expression

li et l'on voit bien que -i est d'ordre 1. La dérivée est donc

continue quand on traverse la surface et cela est vrai quelle que soit la valeur de la densité au point où l'on franchit cette surface.

La même démonstration s étend a — — et et la propo-

Oy Oz ^

sition annoncée pour les dérivées premières est entièrement prouvée.

PoiNC.^RÉ. Potciit. Xewt. iti

109. Passons maintenant au cas des dérivées secondes. Nous démontrerons simplement ceci : Si la densité [jl'^, au point M^ où l'on traverse la surface est nulle, les dérivées secondes restent continues.

Considérons Tune d'elles, ■ ., , par exemple : la lonction

Ox' '

sous le signe 1 est :

La densité jjl'^ au point M^ étant nulle et possédant des dérivées des deux premiers ordres, la fonction [jl' est d'ordre — 1 au voisinage de ce point. Montrons que la quantité entre crochets est d'ordre 2. On a :

On a aussi :

La quantité entre crochets considérée peut donc s'écrire :

\ / \ /y j.oj,: J..J.'- j..>j..s ,.-j.'^ j.j. 0 y

r r r-y ' rr

ou encore :

y3(x'-xnr-r;y r:-^

avec les relations

hoi ni.KS COI ciiEs 243

(ihaciine des soinmes de l'oxpression (3) est d'oiJi-e 2; en efTet, un tenue <jiielcon(jue de la j)i-emièi-e est de la lorine :

\ ' ..Ml ..'11

(.e terme est d'ordi-e 2 cai- 1° j— est d ordre m -}- n — 2 =4 ;

2° (r' — 1') est d'ordie — 2 ])uis([iie Ton a :

et ([ue z' est d'ordre — 2 ; rexpression (4) est donc d'ordre 4 — 2 = 2.

Bref, la première somme de l'expi-ession ul) est d Ordre 2 : la seconde est d'ailleurs aussi d'ordre 2 car tout terme de la lorme r' — r

est d'ordre Ji -|- <{ — 2, c'est-à-dire dans le cas pit-sent

Ainsi l'expression {?>) est d'ordi'e 2, la fonction ■:, est d(mc

(l ordre — i -\- 1^ l et |)ar conse(iuent la dérivée ,, est con-

Ox-

tinue.

Le même raisonnement s'applique aux autres dérivées secondes de W et la propriété annoncée est donc démontrée : les dérn>ées secondes de W resfent continues (juund on francJiit la surface en un point M^ oii la densité est nulle.

110- Revenons alors aux potentiels U et U' considérés au paragraphe 106 et supposons nulle hi densité au point M^oii l'on franchit la surface. Nous avions posé :

La fonction W considérée dans cette relation est précisément celle que nous venons d'étudier et, par suite, les dérivées secondes de U, quand on franchit la surface au point M^ éprouvent les mêmes discontinuités que celles de U' puisque celles de W restent continues.

Or U' est le potentiel dune surface plane attirante sur laquelle

244 THÉORIE DU rOTEyJlEL yEWToyiEy

la densité en chaque point x', y' est représentée par la lV)nction

Nous avons étudié au paragraphe 105 comment se comporte

un pareil potentiel au voisinage de la surlace. Reportons-nous

aux résultats de cette étude ; nous vovons que lorsque le point M

Iranclîit la surlace au point M,,, les dérivées secondes : -^-— , '■ ux''

,VU' cVU' O'-U' • 1 . .

restent continues ; les autres éprouvent des

Oy^ Oz- OxOy

discontinuités. Le saut brusque de , , est éoal a

^ OxOz "

et celui de

i)\' Ovùz î^y'

Puisque les dérivées secondes de U éprouvent les mêmes discontinuités que les dérivées secondes de U', on peut donc énoncer les conclusions suivantes :

Oiunid un point alliri- M fraiicliit une surface allirante en un

point il/, oii 1(1 densité est nulle, nuatre dérivées secondes, -—^ , ' " Ox"

(VU cT^U O-U , . , ^, ,

■ , — et ^ , , du potentiel U de cette surface restent conli-

Oy- Oz- OxOv

nues: les deux autres dérivées secondes ■ , - — -— éprouvent

uxuz uyOz

^/c'.s' discontinuités ; le saut brusque de la première est

et celui de la seco/ide

Ucmar<[U(»ns <pie y' est ('gai îi l et maximum pour x' et y' ^ 0. On a (.lonc au point M,, :

nouiii.Es coi(//j:s 24^

Par consi-quoiit. les sauts brusques rimsiilt-rés se l'étluiseut à :

111. Poui' traiter la (juestiou dune lacon eoinplt-tf. il nous reste à examiner le cas où la densité au point .M,, est tliOV'nMite de zéro.

Nous conserverons les notations précédentes t-t nous supposerons toujours la surface attirante réduite à une petite calotte S' limitée par une courbe C qui se projettera sur le plan des xv suivant une courbe C; cela est légitime, parce que le potentiel de la pai'tie restante de la surface est holomorphe au voisinage de My et n'inflm» pas sur les discontinuités du potentiel total; nous supposerons en outre cette calotte d'étendue assez restreinte pour qu'une paiallèle qut'leoncjue à l'a.xe des Z ne la rencontre qu'en un seul point.

Nous avons supposé dans les paragraphes précédents que la surface S' admet en M,, un plan tangent bien déterminé que nous avons pris pour plan des xy. Nous avons supposé, en outre, (pi'au point M,j la surlace possèd»' deux rayons de courbuic principaux

bien déterminés, entendant par là que les expressions -r-— et -r—

de leurs inverses sont bien déterminées pour ne pas exclui-e le cas où l'un de ces rayons ou même tous les deux seraient infinis.

Soit alors

l'équation de la surtace ; désignons les dérivées premières et secondes de z' par les notations suivantes :

d-z' tVz' 0-z'

1^""'"'' 'd^ïdV~^'' 1^^^''

•ii6 THEORIE DU POTE.\TIEL yEWTOSIEN

('ela posé, considérons le potentiel U de la surface; il a pour expression, en un point M^ extérieur :

r 'j.'dw'

On peut l'écrire :

Ce sont les dérivées secondes de U que je me propose d'étudier.

J'.tudions d abord ——7- ; ])our cela, calculons — — ; on a :

OX" t'X

'^" ■ - ■ .Ix'cl,

Ox J y (\x

Or on a :

(i) r^ = (x-x')^H-(y-yr+(z-z7.

Considérons r comme une lonction de x, y, z^ x', y', c'est-àdire supposons, dans l'expression de r, z' remplacé par sa valeur en fonction de x' et y'; on a, dès lors, la relation :

bien

iSx'

d'où

(\v' Ox Oz

Ox Ox' dz

-^- — pi'enu alors la lorme :

DO en LES COL cil ES

bien :

posant :

p.axcly'.

('onsulérons J, ; cette intégrale peut s'écrire en intégrant par parties :

dxclv'.

Oi', appelons do' un élé'inent de surface de la calotte S' et ds' un élément de longueur du contour (> qui la limite; on a :

dx dy = V dio' dy' = ,3',ds',

% étant une certaine fonction de x' et y' définie le long de C. La formule (4l devient alors :

dx'

do/.

L'intégrale J. est ainsi mise sous la forme d'une somme de deux potentiels.

Le premier — / — ^ — ds' est un potentiel de ligne attirante, celui ([u'engendrerait une distiibution de matière attirante faite

sur le contour C, la densité linéaire étant représentée par la

fonction — - — — ; ce potentiel est une fonction holoniorphe au

voisinage de ISlg puisque ce point n'est pas sur le contour C.

Le second potentiel / . '. . do)' est un potentiel de

surface, celui qu'engendreraient des masses attirantes distribuées sur S', la densité superficielle étant représentée par la fonction

\ y' / , y' — T-7 — • ^^^ potentiel reste continu ainsi que ses dérivées tan-

gentielles quand on franchit la surlace.

La somme J, des deux potentiels précédents reste donc continue ainsi que ses dérivées tangentlelles. Il en résulte, si l'on se

reporte à la formule (3), que — - — et ses dérivées tangentlelles

^ ■>■ , ^ ^ éprouvent respectivement les mêmes discontinuités, 0.\- OxOy * '■

quand on l'ranchit la surface au point M^, que l'intégrale .1^. l'^tudions donc J^. Cette intégrale peut s'écrire :

Posons

On a évidemment

do)'.

Ox 0x0/,