U 0-U 0-U cVU eV^U ("^-U

Ox" Oy- Oz" OxOy OyOz OzOx

deviennent respectivement égaux à :

Oa' , Oa'

ôy' • ôx'

113. Étude des dérivées premières d'un potentiel de double couche. — Soit S une double couche ([uelconque ; on sait que son potentiel Y est holomorphe dans tout domaine qui ne contient aucun point de S. Mais si le point attiré M vient à franchir la surlace en un point INI^, la fonction V et ses dérivées éprouvent des discontinuités. Nous connaissons déjà celles de Y, calculons celle des dérivées premières.

Nous supposons qu'en M^ la surface S admet un plan tangent l)ien déterminé et nous prenons ce plan comme plan des xy. h^ point My étant pris pour origine.

i^es résultats du paragraphe précédent vont nous montrer immédiatement comment se comportent les dérivées premières de \ au voisinaoe de M„.

On a, en eflet. en reprenant les notations habituelles:

DOLliLES COUCHES 25j

oe ([uc nous avons mis 99 sous la (orme :

en posant :

V Ox ' Ov ' 0/

l'p l ,, L 3 sont des potentiels de simples couches; V s'exprime

avec des dérivées piemii'res de ces potentiels et par conséipient

les dérivées premières de ^ s'expriment avec des déiivées

secondes de ces mêmes potentiels.

(.onsiderons, par exemple, ^- — ; on a :

ov / o-u, 0-U, o-i\

Ox \ Ox' dxOv t\\t^z

Or, quand on Iranchit S au point M,,, les trois dérivées

cVr. eVU, O^IL . , ,

secondes : — r — — , -^- — -^ , — — ^r — loiit des saiils hrusciues resi)ecli- (IX- ô\o\ oxuz '■ '

vemeut égaux a : -i-a a r, , 47:,j|j.s,, — 4- -— ^ ,c est-a-direegaux

\\ : 0, 0, — 4-. — ^ puis(pie a' et ,j sont nids au point .M,^.

H en resuite (lue -^ — lait un saut ])rusf|ue eoal a i~ ——— . ^ Ox , ^ ^ Ox'

On démontrerait de même (rue — — lait un saut l)rns([ue «'l'ai uv

,. ' . . ov

\ ovons maintenant ce qui se passe pour -— — ; on a :

OV / cVU, 0-U, iV^U,,

Oz V OxOz i^vOz ()z"

Le saut i)rusque de — — -^ est égal a — 4- — ^ ,cest-a-dire

. , ^ OxOz ^ i)x

il — 4- 'j. -^— V , car a' =^0 et "'= 1 au point M„. ' (\x '

■2'ii THEORIE DU POTENTIEL NEWTOMEX

Le saut brusque de --——=- est de même éffal h — \-'x' — ^- et

enfin celui de „ - h — 4-1/ (r,H-t,).

Le saut brusque de -^r — est donc éffal à : ^ Oz ^

Or on a en général :

.^ — Pi . o. — q.

V/i + ir, + q^ ' V/l + p^ + q^

d'où :

'' ^\v' Vl+ir.+ q^ Au j)oint Mjj, Pj et q, étant nuls, cette formule se réduit à :

Le saut bruscrue de -- — se réduit donc a zéro ; -^; — reste con- '■ Oz oz

tinue.

fin résumé, on peut énoncer la proposition suivante:

Quand on franchit une double couc/w, la dèris'èc prise suivant la

normale reste continue. Les dérivées tan^entieltes —- — • , -- — font

"^ ox uv '

, , 0;j/ , h^x' des sau/s liriisques resnectivement ei^aux a ■>" , et 4- ' •

114. — On peut obtenir ces résultats dune auti'e manière sans les déduiie de létude des dérivées secondes d'un ])(>tentiel de simple couche dans le cas général.

A'oici une méthode (jui suppose seulemeni ([ue l'on sache cominenl s(> comportent, ces dérivc'es secondes dans le cas où la densil('' est nuMe au potnl où l'on liaveise hi surlace.

DO 11! LE s COI CUES -^y,

Xoiis procéderons de la manièie suivante :

1" Dans un premier cas nous sujjposerons que la sui lace (lui porte la douhli' couche est fermée et (pie la densité est constante.

2 "Nous traiterons ensuite le cas (Fune surface fei-niée en supj)osant la densité variable d'un point ii l'autre, mais nulle au point M,,.

'.V Nous traiterons apri's cela le cas d'une surface fermée (uiclcontpie sans faire d'hypothi'se sur la densité en M,,.

4" Nous traiterons enfin le cas d'une surface (pielconque non iei'inée.

PitEMiEit CAS. — Surfine fciDiée et dcnsilè consUinW. — On a vu 101 que dans ce cas le potentiel est constant ii l'intérieur et constant :i l'extérieur ; les dérivées sont alors nulles partout et n'éprouvent donc pas de disconllnuit»' (piaïul ou fianchit la surface.

DeuxiÎîme CAS. — Surface f'ermi'e et densiilè variable mais nulle au point M^.

Le potentiel V s'exprime en fonction des potentiels de simples couches: U,,U, L^, par la iormule

Ox Ov Oz

Or les densités correspondantes au', |j''j.', ^'-jl' s'annulent en M puisqu'en ce point u.' est nulle. Xous savons alors comment se comportent les dérivées secondes des fonctions V ^, V.,, \\ voir n° 110 et nous pouvons en déduire les sauts brusques des dérivées premières de V.

Considérons par exemple — — :

OV / iVU. O-l' tvr

Ox \ Ox' OyOx OzOx