U, . . . eVIV . cVr ,^

, , ■ reste continue ainsi (lue — - — — ^ ; quant a — ^ elle lait un

Ox- ^ Oy Ox '■ OzOx

saut brusque e<^al a — 4 - —W- . Le saut brusque de -^: — est donc

^ Ox ^ Ox

•256 THÉORIE DU POTENTIEL yEWTOXIEN

' On voit de inenie (lue -^ — Ox ov

ésftil à 4~ ^' , ■ On voit de même (lue -^ lait un saut bi'us<iue

éoal à 4?:

., . eW

(-onsiderons maintenant -^^ — ; on a:

(W .' O-U, iVU, O-IT

— — -^ lait un saut i^rusciue eoai a — 4-—— — -^ i; on voit laci- (\\ Oz ^ ^ Ox' \ Y /

lement (juil est nul ; en elïet on a :

ùx' V y' / Ox' V y' j ' y' '^^'

et les quantités a' et a' sont nulles en M,,. De même, le saut

]jius(iiie de — est égal a zéro. J'.iuin ," reste continue.

OvOz " oz-

OV , '

— — est donc continue, oz

TiiOisiiiME CAS. — Surface fennec cl densilé qdelcuiiqiie . — ■ Appelons toujours V le potentiel ; on a, en employant les notations définies au dél)ut de ce chapitre :

v=/:Ah'.

Appelons ;j.y la densité au point M^. On peut écrire :

La deuxième intégrale est un potentiel de double couche dont la densité est constante. Ses dérivées premières sont continues '^' cas).

La première int(''i)rale est un polenliel de double couche dont la densité variable est nulle au point M^, ,2'' cas). Les dérivées premières de V se comportant comme celles de ce potentiel, on a donc encore :

lour le saut l)rus(|ue 4- —^-t-

ox tK

DOLliLF.S COUCHES ?.S-]

OV , , , 0'

I OUI' — — le saut biusciiic i- — '—-

Ov Oy

Peur — — 0.

Qi'.VTitii:Mi-: cas. — Surfaire non fcrnu-c (luvlronqdi'. — Soll S' une pareille surface limitée par un contour C.

La surlace ayant deux côtés, on peut iaire passer par i\ une deuxième surface S" de manière que l'ensemble S' S forme une surface fermée S. Quelle (pie soit la distribution de matière (piOn envisage sur S ", son potentiel ^ est une lonction holoniorphe au voisinage de !M,j ([ui n'est pas situé sur S mais sui- S'. Si donc on franchit S' en M,,, les discontinuités des déiivées de S' sont les mêmes que celles des dérivées correspondantes de S. Nous sommes ainsi ramenés au cas précédent dune surlace fermée ([uelconque.

On \()lt (l(inc (lue dans tous les cas : — — reste continue et crue

les dérivées langentielles épiouvcnt des discontinuités égales

, , ^'j: ov , , (>u' in'

a 4 - — ^— i)our — — et a 4 r: — ^ pour -- — .