I MA — OA I < 1 M(^) + QA — OA
ou :
I MA — OA I < I MQ— 00 I ;
Terreur relative est donc négligeable, puisque MQ et OQ soni finis et de l'ordre de x, y, z.
Bref, la somme QA + MA est très voisine de 2a; la somnir QB-4-MB est de même très voisine de 2 b. On peut donc écrire :
(1) V = /[log2a + log2b-21ogoJ
= Y-' [log 4ab — 2 log z]
o ' 1 2 V âb r„ 2 M , r„ ^: i u. log = 2 a loo- — i- = — loo- — .
en posant :
r„ = \/idr
(hiant a 1 attraction, elle a pour expression —, ■ .
Ainsi le potentiel newtonien d'une droite très longue est le
même que le potentiel logarithmique d'un point situé en ().
C>ela cesse d'être vrai si le point M s'éloigne indéfiniment, car
dans ce cas on ne peut plus négliger les quotients — , •j-,...elc.
Cela explique un paradoxe : un potentiel newtonien identi(|ue ;i un potentiel logarithmique semble un résultat contradictoire. car à l'infini le premier s'annule, tandis que le second est infini. Dans l'exemple précédent, nous avons vu que cette identité n a
lieu que pour des points situés à une petite distance de la droite attirante, distance négligeable devant leurs distances aux extrémités de la droite.
Remarquons encore que l'expression de V ne dépend que de 0 = \/x''^ -(- y- et non de z; cela veut dire que, quand z varie seul, V varie très lentement ; il faut se souvenir, en effet, que la formule (i) n'est qu'approximative.
Faisons une dernière remarque ; nous avons trouvé
ro = 2 a v/ El
il semble que Y dépende du choix de l'origine; mais, si l'on prend deux origines 0 et 0' à distance finie l'une de l'autre, l'expression de Y change très peu.
15. Potentiel newtonien d'un cylindre. — Soit (^fig. 12) un cylindre dont la section droite est une courbe quelconque. Prenons l'axe des z parallèle aux génératrices. Supposons ce cylindre rempli de matière attirante et limité à deux sections droites dont les cotes sont :
Proposons-nous de calculer le potentiel newtonien de ce cylindre en un point 1\I dont la distance au cylindre est négligeable devant a et b ; nous effectuerons le calcul dans l'hypothèse où la densité ]jj de la matière attirante en un point Q dépend seulement des deux premières coordonnées x' et y' de Q et non de la troisième coordonnée z' .
Traçons la section droite S qui passe par M et décomposons l'aire S en éléments doj', puis découpons le cylindre en une infinité de cylindres élémentaires parallèles \\ OZ ayant respectivement pour bases les éléments dto' de S.
Un cylindre élémentaire est assimilable à une droite attirante dont la densité linéaire serait jji'dc.)'; soit C l'un des cylindres; il perce la section S en Q; son potentiel en M est :
1 \j. doj . log — , en posant MO = r (voir .^ 14) et r„ = 2 ^^.
CAS DU CYLISDRE DE nÈVOLlTIOS i»)
Le potentiel du eyliiulre total en M est doue :
Y = Cl [i\W. Ion- -^,
l'intéorale étant étendue à tous les éléments d(.) de la seetion droite S. Le ealeul du potentiel ncw Ionien eherelK' est donc ramené à celui du potentiel logarithmique de la seetion droit*qui passe par M. On ramène de même le potentiel newtonien d'une surface cylindrique au potentiel logarithmique du contour de la seetion droite.
U jZ'r.fc
Jrig. 12. J-ig. IJ.
16. Cas du cylindre de révolution. — i" Surface cylindrique . — Les considérations précédentes nous permettent de calculer le potentiel newtonien d'une surlace cylindrique (fig. 13) homogène de révolution. Ce potentiel se ramène au potentiel logarithmique de la section droite qui passe par le point attiré M, c'est-à-dire au potentiel logarithmique d'une circonférence. On voit sans peine que le potentiel newtonien cherché est :
Y = 2;/yds'.log-^,
•o THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
". désignant la distance du point M à Taxe et r^ ayant la signification habituelle 2 /ab. On peut donc écrire :
Y = 21og-^/Vtls';
dans ces deux expressions, ds' est l'élément d'arc de la circonférence. SIL estla longueur de la circonférence, M la masse totale de la surface cylindrique, a et — b les cotes des bases, on a :
d'où :
jVcls'=l.jds'=;.'.L=p^;
donc on a :
\=21og — .-— -j-;
on en conclut sans peine l'attraction en prenant la dérivée. Tout se passe comme si la masse attirante était concentrée sur l'axe du cylindre. On volt de même sans dllficulté qu'à l'Intérieur le potentiel est constant et égal a :
