loo -T

R désignant le rayon de cylindre. Quant à l'attraction, elle est nulle.

Tout cela suppose le cylindre infiniment allongé.

2" Vohintc cijlindririitc. — Le calcul est encore très simple; on partage le volume en couches cylindriques très minces, concentriques et assimilables à des surfaces cylindriques attirantes; on est ainsi rameué au cas précédent.

En un point extt'rieur l'attraction et le potentiel dépendent de z seulement; ils ont la même valeur (pie si toute la masse était condensée sur l'axe.

En un point Intérieur, les choses se passent difleremment ; le résultat se déduit de la considération du cas suivant.

3° Masse uUircmlc conipvisc riilrc deux ci/li/idrcs conccn-

CAS DU CYLlSDIii: DE RÉVOLU II OS

frififtes. — Nous supposons c[ue la dinV'rence des deux rayons est une quantité finie. Kn un point M extérieur au plus grand cylindre fig. i4\ le potentiel est, comme l'attraction, une fonction de 0 seulement: tout se passe donc comme si la masse était condensée sur l'axe ; le raisonnement est le même que dans le cas précédent : on décompose la masse attirante en une infinité de couches cylindriques, concentri(iues, assiniilahles à des surfaces.

Fig. 1

Fig-. i:

En tout point Mj intérieur à la cavité, le potentiel est constant et l'attraction nulle, cartons les points Mj sont intérieurs a toutes les couches cylindriques.

Si donc fig. 15) nous voulons évaluer le potentiel et lattraclion en un point M intérieur a un cylindre plein, nous décomposerons ce volume en deux parties : 1" un cylindre concentrique au premier et passant parle point M ; 2** le reste du volume, c'est-àdire la portion comprise entre les deux cylindres. Le potentiel en M est la somme des potentiels de ces deux volumes et l'attraction se réduit il celle du cvlindre intérieur. Le raisonnement

est exactement le même que celui que nous avons lait (§ 10) pour une sphère pleine.

n. Potentiel newtonien d'une circonférence. — Proposonsnous de calculer le potentiel newtonien d'une circonférence en un point quelconque M de l'espace.

Représentons (fig. 16) la circonférence C en perspective. Soient OZ l'axe de cette circonférence, P un point de celle-ci, r sa distance au point M;, ds' un élément d'arc de C ; le potentiel V en M est :

ds'.

Si nous supposons la circonférence homogène, la densité [x est constante et l'on peut écrire :

J V Projetons en Q le point INI sur le plan du cercle et joignons

Fig. i6.

OQ, cette droite coupe la circonférence en deux points A et B ; enfin menons les droites MA et MB et posons :

OP = a; OQ=p; MP = r;

et appelons co l'angle POQ (fig. 16).

QM=z;

VOTKSriEL SEWTOSIES D'USE C IRC O.VEÉ R E .\C E 33

On a

(ls= adto,

Pu- = a- + p- — 2 ap cos oj,

r- = ÂÎQ- + PQ- = z- + a' + p- — 2 ap cos w.

r^ peut encore s'écrire de la manière suivante :

r-=:( z- + a-H-p" I I cos- — — |-sin--7T-l — 2 ap I cos-— sin--;y- I

== z-4- 'a — p)- cos- -^+ I z- + (a+p)- siu"^.

= MA-cos-'-:^ — h^IB-sin- — •

Le potentiel prend donc la lornie :

, Z*^' adfi)

y MA\»os'- ^+MB^sin'- -^

Or, si l'on désigne par M la masse attirante totale, on a

M = 2T:ajx'; donc :

/ 2-\/MÂ^cos-^-^ + M"B^sin2-î^

On peut donc poser,

V = .p(MA, MB),

et si l'on pose en outre :

on peut écrire :

:MA,MB) = 2