RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET LA MÉTHODE DU BALAYAGE
116. Enoncé du problème de Dirichlet. — Soit un domaine T limité par une surlace lermée S. Le volume considéré est supposé connejce, mais son ordre de connexion peut être quelconque. Enfin appelons <I> une (onction continue définie en tout point de S : cette fonction, d'ailleurs arbitraire, est regardée comme donnée.
Cela posé, nous nous proposons de construire une (onction Y jouissant des piopriétés suivantes :
1° V est harmonique dans tout domaine T' contenu à Tintérieur de T.
2° La valeur Vji de V en un point quelconque M (x, y, z) de T tend vers la valeur <I>ji^ de <I> en un point M^ (x^, y^, z^) de S, quand le point M tend vers le point M^ en suivant un chemin quelconque assujetti seulement ii ne pas sortir du domaine T.
C'est en cela que consiste le problème Je Dirivlilel .
Nous venons d'énoncer le problème de Dirichlet intèficiir. On peut aussi se poser un ])roblème semblable pour le cas où le donuiiue T est (orme de la portion de l'espace située ii l'extériet'.r de S. C'est ce que l'on appelle le problème de Dirichlet e.itcriciif. Lors([ue l'on étudie ce nouveau problème, on impose il la (onction cherchée Y une nouvelle condition : celle d'être régulière à l'inlini, c'est-ii-dii-e de s'y comporter cttmme un potentiel newtonien.
Nous avons di'jà vu (v^ 64) ([uc le problème de Dirichlet ne peul pas admetlie plus d'une sobition. Xous allons monfrei' qu'il
RESOLUTioy Dr phoulemi: de diiiiciilet
en possède toujours onVM'tivenienl uik-. (lotlf proposition pctrtc le nom de Principe de Di/ir/ilel.
Il est clair ^[^\^' tontes les considérations pr(''cédentes pourraient être répétées sans modification pour le cas du plan. Seulement, on n'a plus besoin alors, en ce qui concerne le problème extérieur, de dii-e d'avance comment la lonction cherchée doit se compoi't*')' il 1 inlini.
La méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques indi([uée par Thomson et ex[)osée au chapitre V permet de ramener le problème extérieur au problème inti'rieiir. Xt)us ne nous occuperons donc ici que du problème intérieur.
Commençons par établir quelques propositions qui nous seront utiles.
117. Comparaison des fonctions harmoniques et des potentiels.
- Envisaoeons {i\u- 79)
domaine intérieur T, et un domaine
une surlacc lerinée S délimitant un
extérieur T.,. Nous supposerons que la surface S possède en chacun de ses points un plan tangent unique et deux ravons de courbure principau.x bien déterminés.
Soit maintenant une (onction ^ présentant les caractères suivants :
1 " La lonction Y est harmonique il l'intérieur et ii 1 extérieur de S, c'est-ii-dire dans tout domaine contenu dans T, comme dans tout domaine contenu dans T^.
2° La ionction V est régulière ii l'infini et s'v comporte comme un potentiel newtonien.
3" Soit Mj un point situé ii l'intérieur de T,. Considérons un point M de S. SI M, tend vers M en suivant un chemin quelconque assujetti seulement ii rester ;i l'intévieur de Tj, les expressions :
dV
Fig. 79.
Vet
du
■l'ôî. THEORIE DU POTESTIEL NEWTOMEM
tciulent vers les limites clétei'iiiinées :
