V. et
qui sont des fonctions continues sur la sui'face S.
4'' Soit ^\, un point situé à l'intérieur de T^. Considérons toujours le point M de S. Si M, tend vers M en suivant un chemin quelconque assujetti seulement ;» j-oster à l'intérieur de T,, les expi'essions :
., dV V et— ; — dn
tendent vers des limites déterminées :
dV.
V, et
du
(pii sont des fonctions continues sur la surlace S. .V Posons :
1 / dV, dV
dn dn
Nous ne supposons rien sur les fonctions tj.'et u", sinon qu'elles sont finies et continues sur S.
Je dis que V est alors la somme de deux potentiels newtoniens dus l'un il une simple couche, l'autre à une doidile couche, portées toutes deux ])ar S.
118. (Commençons par examiner le cas où l'on a : ix' = (), a" = ().
Je dis ([ue l'on peut alflrmer aloi's ([ue A est identiquement nulle.
Kn edet, traçons deux surlaces fermées S/ et S/, très voisines de S, l'une intéi-ieure, l'autre extérieure (fiof. 80). Soit, de plus, une grande sphère de rayon R entoui-ant S. Appelons T/ l'espace conq)ris ii l'intérieur de S/ et T./ l'espace compiis entre S./ et ï.
i{/:son Tio.y ur rHOin.ÈMF. de niHiciiLEr On a. en vertu de la lorinule de Gieen :
et
>. dV
\ \— — do— / \-î— d(o = i > l—— 1 ck,
Fig. S...
les dérivées -; — étant prises toujours suivant la diieetion de la dn
normale extérieure à la surface sur laquelle on intègre. L'intégrale :
/ \ -j— dw
J^', dn
aS-i riIÉORIE DU POTENTIEL XEWTOME?\'
tend vers une limite déterminée :
dV,
dn
do/
quand S/ tend vers S en passant par une série quelconque de formes. Cela prouve que l'intégrale :
-'[Tv 2^\ ^^
a un sens. 11 lallait le montrer, car on ne sait rien a priori de ce que deviennent les dérivées :
DY ôV ôY
sur S. Tout ce que Ton avait supposé, en effet, ne concernait que la dérivée :
OY
Ox
OY
en désignant par a, |3, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à S.
Finalement, on a :
4s) * du <J[li)Zj\ ^^
dT.
Yoilà un preiiiier point.
Prenons maintenant l'intégrale
Jfv) dn
dw'
et supposons que le rayon R de la sphère - augmente indéfiniment. Puisque Y se comporte à l'inlini comme un potentiel newtonien, on peut écrire, dès (pie 11 est assez grand :
dY "d^
Soit, d'autre part, une splii-re 11 de rayon 1 concentrique à -.
nrsof.rrio.y or rnonr.kM f. ue Dinicin.r. i
Ai)|)('l(»!is (I7 un clfiiiiMit iiilimh'siinal de li. ()ii aiiiii :
./., du
On voit (|no lintéoralc ('tiidifT tond vers zéro quand II au< mente indélininient.
Cela posé, linti-grale :
tend vers une limite dt-toiininée
dV
J{>\ - du
(juaiid S,' tond vers S en passant par une séi-ie (jueU'onijue de tonnes.
On concliil de tout cela cpie lintégrale :
a un sens. On a :
c't. Zj V *^-V / c/;s du
en vertu des reniar([ues pi-éeédentes.
On déduit de là la relation :
dn " dn
rinti'oi-ale triple étant étendue à tout l'espace. Mais ,. d^
- dn
•A cause des hvpothèses laites.
Doii :
2f56 THÉORIE DU POTESTIEL yE]VTOyiES
delà prouve ([ne l'on a :
