On peut écrire

av. a\

Aloi's :

On retomlje sur une formule connue.

Supposons maintenant :

Alors :

av. av, \ ao/

jjsA tin an )

et V est un potentiel ae simple couche. Ce cas se présente notamment si on aéfinit V au moyen de aeux fonctions harmonn[ues, Tune il l'intérieur de S, l'autre ii l'extérieur de S, prenant les mêmes valeurs sur S.

121. Balayage d'un domaine. — Consiaérons un aomaine T avant pour frontière une surface fermée S. Soit P un point situé

il rintéi'ieur de T. portant T unité de masse. Désignons par o la distance de P à un point M quelconque de l'espace. Le potentiel newtonien dû ii l'action de P sur M a pour valeur :

Supposons maintenant qu'on sache construire la fonction de Green G relative au domaine T et au point P. On a :

G=— —II

II étant déterminée par les relations suivantes :

AII=0 dans T

II = — sur S.

Concevons une iouction A' qui coïncide avec II à l'intéiieur

de S et avec — à l'extérieur. Cette fonction est continue dans

tout l'espace ; elle se comporte régulièrement à l'infini ; en outre elle est harmonique tant à l'intérieur qu'il l'extérieur de S. Si l'on reprend les notations du paragraphe 117. on ])eut ('crire :

V, — V, = 0 dV, dV, ' 0 dll dG

du di

D'où

1 r dG do/

4Ti i/(Sj du r

en vertu d'une formule é'tahlie précédemment ;^,!^ 120 •

On voit que A est le potentiel newtonien d'une couche simple de matli're attirante répandue sur S avec la densité :

1 dG

eu chaque point.

RÉSOLUTIOy DU PROBLEMi: DE DIKICIILirf -iGg

A lextrileiir de S, V coïncide avec — . Donc, jxmii' un point

([ui nest pas situé dans le domaine T, le potentiel dû ii la siin[)le couche considérée est le même que le potentiel dû à rnni([ne point P.

A 1 intérieur de S, ^' coïncide avec H, mais on a :

c'est-à-dire :

en tout point de T ([ui n'est ni en P ni sur S. Donc, en tout point situé dans le domaine T, le potentiel dû ii la sinii)le couche considéi'ée est plus petit que le potentiel dû à P.

On sait (lue — , — est né<;atil en tout point de S : cela résulte ^ dn ^ ^

de ce que G est nul sur S et positif" ii lintéricur de S. On a

donc :

i dC

- dn

Ainsi les masses qui constituent la simple couche thtnt le potentiel est \ sont toutes positives.

Les mêmes ])iopositions sont vraies si le point P. au lieu de porter l'unité de niasse, porte une masse égale à m. Si m est positif, la densité de la couche superficielle ([ue l'on lahricpie est encore positive en chaque point de S.

Les mêmes considérations peuvent encore être laites a piopos de masses distribuées d'une façon quelconque dans T : })oints discrets, volumes, surlaces ou lignes.

I>a couche superficielle obtenue s'appelle concJie ('(luivaU'ule aux masses intérieures. L'opération qui consiste i» renqilacer des masses par la couche équivalente porte le nom de halaijdiie du domaine T.

\^n résumé, on voit que le balayage d'un domaine qui ne contient ([ue des masses positives ne change pas le potentiel en un point extérieur ; il le diminue en un point intérieur : enfin cette opération n'introduit jamais de masses négatives.

■i-o THEORIE DV POTENTIEL NEWTOMEN

liiiMAKQLE. — On a :