i/s du
Donc le bahivage, dans le cas d'un point P unique portani l'unité de masse, ne change pas la niasse totale considérée. Kn d'autres termes, la masse totale de la couche équivalente est égale a la masse primitive.
Il en est évidemment de même dans le cas d'une distril)ution quelcon([ue de masses.
122. — On peut définir de même UTie opération qui s'appelleia le halavaoe de la rémon de l'esijace extérieure ii S.
Soit P un point attirant portant l'unité de masse située à l'extérieur de S. Appelons encore p la distance de P à un point ]M quelconque de l'espace. Si G désigne la Jonction de Green relative au point P et au domaine extérieur à S, on a :
avec :
AII = 0 à l'extérieur de $
H = sur S.
Imaginons encore une lonction A qui coïncide avec — à l'inté-
l'ieur de S et avec II à l'extérieur. On a cette lois :
1 /^ dG do)' 4-Js) dn r
et l'on voit encore que V est le potentiel d'une simple couche répandue sur S avec la densité :
1 CiC.
en cluu|iie point. Ici on a :
dG
"ThT
itKsof.iTfo.x Dr PRoitLKMi: I) K I) I it I c II I. i:t i-\
fiir le sens de la lutriuale e.\t 'lieui'e ;i la siiilace S est inaiiili--
iKuit celui de la Monnaie diriu'ee vers rintéiieur ilii doniaiiit-
envisag(''.
Sans insister davanlaj^e^ nous jioiivons (Mioneer' les conclusions suivantes :
i" Le halavaj^e ne modille j)as le potentiel ii lextciicMi' de S.
2° Le halavage lait diminuer le potentiel ;i lintérieur de S.
W Le balayage n'introduit pas de niasses négatives.
(^es propositions se démontreraient comme dans le premier cas.
Voyous ce <[ui arrive pour la masse totale : je dis (pi'elle a diminué.
lui ellet coiisidi'rons une sphère - de rayon II. Sup|»osons li assez graïul [)our (jue le j)oint V et la surlace S soient a liiitt'-rieur de ï.
La lonction (i est hanii(»iii([ue à l'extéi'ieur de ï et i<''giili('i'e a riiifini. On a donc :
n; ^ ii;
et ce développement est valable poui' :
r>ll.
n„ est une constante. Voyons son signe. D'abord on ne peut pas avoir :
car, pour 11 très grand, c'est cette constante ([ui donne son signe i» Cl. Or, nous savons que G est positif à l'extérieur de S. De plus je dis qu'tni ne peut pas avoir :
Kn elt'et, si cela était, ce serait n', (|ui donnerait son signe ;i Ci pour r très grand. On devrait donc pouvoir écrire :
Ii; ïi 0.
Or, posons :
THEORIE DU POTEMIEL SEWTOSIEy
fx;x;d.= (),
si p ^q, riutégiale étant étendue à tous les éléments de la sphère de rayon 1. Prenons :
On déduit de là
('Xi(h = 0.
Doue X',, et ])ar suite 11^ ne peut pas avoir un signe eonstant. Done n,'| ne peut pas être nul. (,)n eonelut de tout eela :
l'éiralité étant exclue. Or
Doù
dG ^ X 2x;
dr r- r'
l.ors([ue r est très grand, c'est 0,, (jui donne son signe. On a
D'où
dG
pour r très grand.
Cela posé, si Ton appelle M la unisse totale île la couche attirante répandue sur S aprc's le balavage, on a :
