l'i, du

On peut éci'ire

1 r dG

1 r <^1G , , 1 /' (IG , , 1 /• dG , ,

^- / — j— do) j- i — r— d(.) + -^— -T— d(o

RÉsoiATios Dr PRoni.kMi: de duiiciilet 273

Or la diderence des deii\ preniièies intt'gi-ales est égale à 1. Quant à la troisième intégrale, nous venons de voir ([u'elle est négative dès que r est assez grand. On a donc :

i.a niasse totale a diminué par suite du balayage.

Tout ce que nous venons de dire s'applique encoi'e sans modification si les masses priniitives considérées, au lieu d'être condensées en un point, sont distribuées dune lacon ([U('lc(»n(|ue.

123- — Pour pouvoir laiie le Ijalavage d un doniaiiic T. il laut

deux conditions :

1" Savoir lormer les lonctions de Clreen Cl relatives ii ce

domaine.

1 (^ 2** Savoir <iue — i — existe et est intéorabb' sui- le bord (bi ^ dn "

domaine T.

(les deux conditions sont remplies s il s'agit d'une sphèi'c. On sait donc lairc le balavage d une sphi're.

Avant de montrer les conséquences ([uc Ton j)eut tii-er des théorèmes précédents, nous allons revenir sur (|U('l(|ues-uns de ceux-ci en nous plaçant dans le cas particulier oii il s agit du balayage intérieur d'une sphère.

124. Balayage d'une sphère. — Soient (ig. 81 une sphèi'e S de centre () et de ravona. Appelons M un point situé ii 1 intérieuide la sphère et M un point situé au centre de gravit»'- de rt-b-inent dw' de la surlace de la sphère, l^osoiis :

OM = p, OM' = a, MM'=r.

Imaginons maintenant dans l'espace une distribution de matièi'e attirante pour latpielle la densité soit v. au centi-e de gravité de l'élément de volume dr. Désignons par V le potentiel ainsi engendré. On a :

en appelant A j le potentiel dû aux masses intérieures ii la sphi-ie et A'^ le potentiel dû aux masses extérieures. Le balayage a pour

l'OI.N'CARÉ. Polciit. Newt. 18

efiet de remplacer chaque masse ad-: située à l'intérieur de la sphère par une couche équivalente répandue sur la surface et ayant pour densité en M' :

udT.

11 résulte de là que la densité en M' de la couche équivalente

Fifï. 8..

finale, une lois ([u'on a terminé le jjalayage, est donnée par l'intégrale triple :

' J ' 4-ar'

étendue à la sphèie considérée. Posons alors :

ll = V,.

\\n supposant ;j/>(), on a

D'où

ui'>0, ;jl">0.

U,>0, ll>0.

iu-:soi.vTio.\ DU piion/.k.ME de dikiciilf.t

D'autre pai-t :

U, = V,... il IVxtériour de S

Prenons

Ou a liiialement

U, < Yj... à rintérieur de S U = U. + LV

U :=: V.,. il l'extérieur de S U < Y... il l'intérieur de S

et d'ailleurs I' est positif et continu dans tout l'espace.

Les mêmes conclusions sont encoi-e vraies si Y est un potentiel (lu il des distrihiitioiis superlicielles ou lim-aii'es. On le d/'inon-

Fig. 8-2.

trerait exactement de la même façon, Xous n'insisterons donc pas davantage sur ce point.

125. Théorème de Harnack. — Soit une sphère S de centre 0 et de rayon a. Prenons un point M ii rintérieur de la sphère et posons (fig. 82 1 :

ayô THÉORIE DU POTE MIEL NEWTOMEX

Considérons maintenant une suite illimitée de fonctions : harmoniques et positives dans S. Désignons par :

les valeurs de ces lonctions en un point M' situé au centre de gravité de l'élément dw' de la surface de la sphère. Nous avons prouvé (J^ 97) (pie, si la série :

est convergente, sa somme :

Y = SYi

est une fonction harmonique dans S.

On a :

«-'is.

en posant :

v.=rYi^^^-4^a'./,

MM^ = r.

Soit alors une sphère i] concentrique à S et de rayon 1) inlérieur il a. Supposons que le point M soit ii l'intérieur de ï. Posons :