ar

Mais on peut écrire l'inégalité :

D'où :

47rar\. -^ 47:a fa-f

ce qui donne :

et enfin

4 7ra,a + pj- ..(g,

rYW<-/<:NV"i,

en posant

N 4r.a(a + pJ-'

Or, par hypothèse, la séi'ie :

RESOLUTIOS Dl l'ROnLF.ME DE DIIUCIILET est o()nvei'tï«Mito. Donc il en est de même de la série :

ZX,^''"'^'

et. par suite, la fonction ^ est harmonique.

127. Considérons un domaine T limité par une surface lermée S. (!e domaine est supposé connexe, mais d un ordre de connexion (|uelconque.

Soit une suite illimitée de fonctions harmoniques :

définies et positives dans T. Je dis ([ue, si la série :

est convei'gente en un point M^, de T, elle est convergente en tout point de T.

En elFet, prenons uu point M (quelconque situé ii l'intérieur de l .

Fig. 83.

Si le point M est contenu dans une sphère qui renferme aussi le point M„ et qui soit tout entière à l'intérieur de T. la proposition est évidente : en effet, chacune des fonctions \, est harmonique et positive dans cette sphère, en sorte qu'an est ramené au cas étudié dans le paragraphe précédent.

Supposons maintenant (fig. 83] qu'on ne puisse trouver

28o THÉORIE DU rOTENTIEL NEWTONIEN

aucune sphère remplissant les conditions prescrites, mais que

l'on

puisse trouver clans T un point M, tel (pi'il existe deux

RESor.rTios du rnoni.KMi: de dihiciili:t i8i

sphi'i'os, lune conteiiant M„ et M^ lautrc coiitciiaiit M^ <l M. et toutes deux contenues d;ins T. Alors, eu vertu de la icniaitjuc ([ue nous venons de lairi', la convergence de la série :

en M„ entraîne sa c<)nvei'ofence en M, et celle-ci a son tour entraîne la convergence en M. La j)it>j)osition énoncée est donc encore vérifiée.

Vax général, à cause de la connexion du domaine 1 , on peut ti'acer un chemin continu allant de M^ en M sans soitir de T. Sur ce chemin, il est manifeste (jue Ton peut trouver un nombre limité de points Hg. 8^ :

t(ds qu'il V ait toujours une sphtMC contenue dans T et contenant il son intérieur deux points consécutifs M„ et Mn i- Li* démonstration du théorème en ([uestion peut alors se faire de proche en proche. La série :

est convergente en M^; donc elle lest en M,, comme on le voit en considérant la première sphère. La convergence en M, entraîne la convergence en M^, comme on le voit en considéiant la deuxième sphère. Kn général, la convergence en Mn entraîne la convergence en Mn j, comme on le voit en considérant la 'n-j- l'i sphère. Il est clair (juaprès un nombre limité d'opéra-

tions on sera assuré d(^ la convergence en ^L

128. Voici une im])orlanle a])plication des théorèmes précédents.

Soit un domaine T limité par une surlace fermée S.

Considérons une ionction <I> définie et continue en tout jioint de S. Nous regarderons cette fonction comme donnée. De plus nous supposerons qu'elle est positive et non nulle en tout point de S.

Cela posé, traçons une sphère Q. assez grande pour contenir toute la surface S it s<m intérieur. On peut toujours imaginei' une

•282 THEORIE DU rOTESTIEL yEWTOMEX

lonction U définie et continue clans Ù, positive et non nulle dans le même domaine, prenant enfin les valeurs <I> sur S.

Donnons-nous maintenant une suite de nombres positifs :

tels que la série :

soit convergente. On sait qu'il est possible de construire une suite de lonctions :

définies dans ù et bolomorphes en tout point de ce domaine, de telle laçon que l'on ait :

pour toutes les valeurs de l'indice n et que la somme de la série al)S(dument et uniformément convergente :

soit la fonction U donnée. On peut, par exemple, s'arranger de manière que les fonctions Pj soient des polynômes entiers en X, y, z.

Supposons alors que l'on sache, pour toutes les valeurs de l'indice n, former une fonction y„ harmonique dans T et prenant sur S les mêmes valeurs que P„. On a :

Donc la série :

ch)nt tous les termes sont des fonctions harmonicjues et positives dans T, est absolument et uniformément convergente en tout point de T. Vax vertu du théorème de llarnack, nous concluons de là ([ue la somme V de la série précédente est une fonction harmonique dans T prenant sur S les valeurs <I>.

Nous voyons par là que L'on saura résoudre le problème de iJirichlet dans le cas le plus i^énèral dès qu'on saura le résoudre en supposant que la fonction cherchée prenne sur S les mêmes valeurs qu'u/i polijnôme donné.

HÉSOLITIOS DU l' liO li LK M K D K D I H I C II I. K T u8'{

Rrmaiiqii:. — Xdiis avons supposr poiic plus tic siinplicili'. clans la démonstration précédente, ([ue la lonction donnée <I> était positive et non nulle en tout point de S. On peut toujoui's se placer dans ce cas pour résoudre le problème de Dirichlet.

Kn edet supposons fjue $ ait un signe quelconque. Posons :

On peut toujours écrire ;

Soit ^ une lonction harmoni(jue dans T pienant sur S les valeurs M — (p : nous admettons qu'on peut la déterminer. Cela posé, il est clair ([ue la fonction :

M — V est harmonicpie dans T et pi'end sur S les valeurs '!>.

129. Méthode du balayage. — Proposons-nous de construire une lonction \ harmonitpie dans un donuiine T limité par une surface fermée S et prenant sur S les mêmes valeurs (piun polynôme donné P.

Commençons par tracer une sphère il contenant à son Intéiieur tout le domaine T.

Cela posé, il est possible de trouver une infinité de sphèi-es ii, lormant une suite ii indices entiers positils et jouissant des piopriétés suivantes :

1° Chacune des sphèi-es ii, est tout entière intérieure à T.

2'^ Tout point de T est intérieur a lune au moins des sphères lî^.

Concevons, en efTet, une succession de nombres positils :

OpO,,... 0,,...

décroissants et tendant vers zéro. Imaginons maintenant une série

de régions :

K,,R,....Ri,...

s'enveloppant mutuellement et tendant ii se conlondre avec T.

■iSn TfJEOniE DU POTEATIEL .\E WTO ME .X

I.a légion Ri par exemple est définie comme étant l'ensemble de tous les points de ï dont la distance minimum èi S est supérieure il 0.. Traçons une triple série de plans parallèles aux plans coordonnés, l'écartement de deux plans consécutils de la même série

étant un peu inlérieur à —^ . La région Ri est ainsi partagée en

un nombre limité de cubes dont la diaoonale est légèrement inlerieure ii o,. Il est clair que ces cubes sont tous intérieurs ii ï. D'ailleurs tout point de Ri appartient ;i l'un de ces cubes. Appelons :

la longueur de la diagonale d'un de ces cubes. A chaque région Ri est attaché un nombre positif Sj inférieur à o,. Nous supposons (jue la suite :

soit convergente et ait zéro pour limite.

Cela étant, du centre de chacun des cubes obtenus, décrivons

une sphère ayant pour rayon o, — ~ . Nous construisons ainsi

un nombre limité de sphères :

Toutes ces sphères sont intérieures it T et tout point de Ri est intérieur à l'une au moins de ces sphères. En faisant la même opération pour chaque régionRi,on oJjtient une série de sphères remplissant bien les conditions prescrites :

1° Toutes ces sphères sont intérieures à T.

2" Tout point intérieur ;i T, étant intérieur aux régions Rj ii ])artii' d'une ceitaine valeur de i, est intérieur ii l'une au moins des sphères considérées.

y L'ensemble des sphi'ies précédentes est dénoml)rable, puisque l'ensemble des régions H, l'est lui-même et qu'il ne correspond à chaque région lîi ([u'uii nombre limité de sphères.

La ])rop()sitioii annoncée est donc établie.

Xoiis considérons les sphères Oi dans l'ordre suivant :

de manière ii considt'-rer chacune d'elles une infinité de fois.

RÉsoi.rrioy or piîoni.kMF. m: diriciii.f.t -^S")