Prenons nialntonant le polynôme ilonn.- 1* et loi inons
l'expression AP. Sujiposons (Vabortl cpie Ton ait :
en tout point de 0. Nous veii(»ns ensuite coininent on peut lever cette restriction.
Posons
et
On a :
^Vu= /
J'Si) r AP
ij.
De })lus, \\\ est le potentiel new tonien d"un vo'mne attirant.
Doii :
A^\\, = — 4-;jl' = AP
en tout point de 0.
Effectuons maintenant le balayage de chacune des sphères Q;. en prenant celle-ci successivement dans Tordre indiqué. Soit Wi ce ([u'est devenu le potentiel \V„ après la i' opération. On a évidemment, en vertu des propriétés du balayage :
en tout point de <J. D'autre part, on peut écrire :
puisque le balavage n'introduit jamais de masses négatives. Considérons hi suite :
Elle est convergente, puisqu'elle est formée de termes tous positifs qui vont toujours en décroissant ou du moins qui ne croissent jamais. Soit ^V la limite de cette suite : W est une fonction définie en tout point de Q.
On a évidemment :
i86 TlIÉOniE DU POTE.\riEL yEWTOXIEN
Etudions les propriétés de ^\ .
(Considérons une sphère Q,^. quelconque. Elle est balayée une infinité de lois, aux opérations numérotées, par exemple :
y.,y.,... ai...
(Considérons les fonctions :
inies lorment une suite convergente ayant W pour limite. D'ailleurs^ on a :
A\V,. = 0... dansL)„
quel que soit i. Mais on peut écrire :
Tous les termes de cette série sont des fonctions harmoniques dans 12,, ; ces fonctions sont positives dans le même domaine, à l'exception de la première ; enfin la série envisagée est convergente en tout point de O,. Donc, en vertu du théorème de Harnack, la fonction W est harmonique dans Q.„. CNIais étant donné un point quelconque de T , on peut toujours trouver une sphère 9.,^ au moins t^ui contienne ce point à son intérieur. On voit par là que la fonction W est harmoniiiue en tout point de T.
131. Voyons (juelles sont les valeurs prises par la fonction ^^' sur S.
Supposons que la surface S possède en chacun de ses points un plan tangent unique et deux rayons de courbure principaux Ijien déterminés. Soit M^, un point de S. Vovons vers (quelle limite tend ^^' ([uand le point ccuii'ant M(x,y,z), d'al)ord situé ii l'intérieur de T, tend par un chemin quelconcjue vers M^.
En vertu des hypothèses que nous venons de faire, on peut construire une sphère S^, tangente extérieurement \\ S en M,,. (Construisons une fonction U jouissant des propriétés suivantes:
AU^O il l'exlériiMir de S^
U=W„ sur S„
U = 0 à rinlirii.
RESOLITIOS Dl PROBLEME DE DIKK IILET vîS;
Sachant résoiuli'r le proldènie ilc Diricliltt {xtur la splii-if, nmis savons former la lonclîon L.
On a évicleninieiit :
vcn tout point M de T, Mais, (|uand M tend vers M„. V et \\\ tendent vers la mi^nie limite. 11 en est donc de même de \\'.
Ainsi ^^' prend sur S les mêmes valeurs que ^\\,
Finalement, on a :
AW = 0... dansT W = AV,,... sur S
pourvu que S ne présente aucune singularité.
