CHAPITRE VIII
RÉSOLUTION DU PROBLÈME !)]•: DIRICMLirr LA MKTIIODL DE XEUMAN.X
135. Principe de la méthode de Neumann. — La iiK'lhode d(i l^alayage, exposée au chapitre précédent, lournit une démonstration rigoureuse et générale du Principe de JJiricldcl. I.a méthode de Xeuniann, dont nous allons nous occuper maintenant, a le même but. Au point de vue de la généralité, elle est intérieure à la méthode du balavage. Mais elle a Tavantage de bien mettre en évidence l'identité des lonctious harinonicpies et des potentiels newtoniens.
Nous étudierons concurremment le problème intérieur et le problème extérieur de Dirichlet. Xous nous placerons dans le cas de l'espace à trois dimensions. Mais ce n'est que pour fixer les idées. On verra sans peine ([ue les raisonnements peuvent encore être faits <piel ([ue soit le nombi-e des variables indépendantes.
(lonsidérons une surface fermée S limitant un domaine intérieur T et un domaine extérieur T . Nous supposert>ns (jue la surlace S possède en chacun de ses points un plan tangent uni<[ne et deux rayons de courbure principaux bien déterminés, (k'hi posé, nous voulons résoudre le problème de Dirichlet \\ la U)is pour le domaine T et pour le domaine T'.
La méthode de Neumann consiste à chercher une double couche portée par S dont le potentiel newtonien soit précisément la ionction harmonique inconnue ([ue l'on veut construire.
Nous verrons que l'on peut toujours réussir à déterminer la double couche en question dans le cas du problème intérieur. Mais, pour le problème extérieur, il n'en est plus ainsi. 11 est
l'OixcARÉ. Potent. Xcwf. 19
ago
facile de se rendre compte de cette dernière particularité. Soit V une (onction harnioni([ue à Textérieur d'une sphère de rayon R
et réoullère à l'infini. On a :
>lant
en appel;
des fonctions sphériques et en posant :
('e développement est valable pour :
Supposons que V soit un potentiel newlonien. Alors on peut
écrire :
linij^-y pV = M,
M étant la masse totale ([ui engendre le potentiel V. Si ce potentiel est celui d'une double couche, on a :
Mais, en général :
Cela entraîne donc :
I^ar conséquent, une condition est requise pour ([non puisse résoudre le problème extérieur de Dirichlet au moyen du potentiel d'une double couche.
Xous verrons d'ailleurs (|ue l'on parvient toujours à résoudre le problème extérieur en superposant sur la même surface S une sinq)le couche et une double couche de matière attirante.
136. [{appelons d'abord, en ([uel([ues mots, les propriétés fondamentales des potentiels de doul)le couche.
Soit ^^' un pareil potentiel. C'est une fonction régulière it l'infini et harmonique en tout point de l'espace, sauf sur la surface même (pii porte la double couche.
lîicsor.irios nr r n o ii l k.v /■: ui: Diiticii le r n^i
I.ors(jue le point couniiit M se rapprorho iii(lfliiiiiiu'nt d un point -M^ (le S en lestant intéi-ieur ii S, W tend vers une liniitr ({lie nous désignerons par ^ . I>ors([iie M tend veis M^ en restant il l'extérieur de S, W a encore une limite que nous désignerons cette lois par V. Si 'j. est la densité de la doulde couche au point M„, on a :
V— V = — 4-.JL.
Knfin la valeur de W en M,^ est:
Nous supposons ici la matière attiiante ([ui constitue la doul)le couche répandue sur une surlace fermée S. Les éléments do)' de S sont alors regardés comme avant leurs côtés néifatirs tournés vers l'intérieur de S. Quant ii l'angle solide d?' sous lequel dw' est vu du point x, y,z, il est positit ou négatif suivant que d(-/ est vu par sa face externe ou j)ai' sa face interne.
137. Soit f]» une lonction donnée, définie en tout point de S, uniforme et continue dans le même domaine. Appelons a un paramètre réel.
Proposons-nous de déterminer une double couche portée par S, de telle façon que son potentiel W satisfasse au voisinage de chaque point de S ii la relation :
C'est ce que j'appellerai le ])rohlcmc de Xeuniaiin. Supposons ce problème résolu et faisons :
Le potentiel W correspondant vériliera la relation :
Le problème de Dirichlet cvléricur est ainsi résolu. Faisons maintenant :
292 THÉORIE Dr POTE y TI EL NEWTOSIEX
Le potenticMV correspondant vérifiera la relation.
Cette lois, ce sera le problème de iJli-ichlet intcricur ([iii sera résolu.
Finalement, on voit que nous sommes ramenés à la recherche du problème de Neumann.
138. Considérons W comme une fonction de ).. Admettons que W puisse être développé en série ordonnée suivant les puissances croissantes de ).. Ou a alors
Y=V, + aV, +... + a'V. + ...
U = U„ + aU, + ...+ A'L'i +...
Vovons si de pareilles séries peuvent vérifier tontes les conditions imposées à la fonction W que l'on cherche. D'abord il faut, pour cela, que Ton ait :
AAV, = 0, AAV,=0,... AWi = ()...
en tout point de l'espace, sauf sur S. Cela auia lieu si luuis prenons pour :
les potentiels de certaines doubles conciles. Maintenant la relation :
donne
V — Y'=AiV + V') + 2fI»
Y;-Y'i = Y>, + V'>, = 2lV
RÉsof.UTioy Dr rrton/.k.vE de Dinirnr./rr 293
Si Ton appelle :
'JL,,'Jl.|'Jt.^.. . 'JLj. . .
les densités des doubles 0(»uclies dont les potentiels sont respectivement :
on sait que Ton doit avoir :
V, — V; = — 4-ui,
D'où
ce ([ui détermine de proche en proche les densités des doubles couches envisagées.
delà posé, nous avons deux ([uestions ii résoudre :
i" Peut-on construire les séries (i)?
2" Ces séries sont-elles convergentes ?
C'est ce que nous allons examiner.
139. Développement de la méthode de Neumann. — Posons pour abréger :
Prenons :
•igi THÉORIE DU POTESTIEL yEWTOyiE?s
^Vi sera le potentiel dune double couche portée par S. Donc lu (onction ^^ i sera régulière à Tinlini et harmonique en tout point de l'espace non situé sur S.
D'autre part, on aura bien :
et, si l'on pose :
