POTENTIEL D'UNE SPHERE PLEINE

ihode, que nous allons exposer clans le cas d'une surface sphérique homogène.

(Commençons par effectuer le calcul pour un point situé à Tintérîcur de la cavité sphérique. Tout point de cette cavité est vxtàrieur aux masses agissantes et le potentiel Vy satisfait à Téquation de Laplace

Or, en vertu de Thomogénéité de la couche superficielle, \ dépend seulement de p, distance du point attiré M au centre O de la sphère; cela nous permet de transformer Téquation '1\

On peut écrire :

OV dV X

Ox dp p

car le centre de la sphère étant pris pour origine des coordonnées, on a :

Oo X

On a de même :

OV dV V (H' dV z

et

i>v dp p ' (V. do

vil II

('/.ilculons les dérivées secondes :

iVV J /dV\ X / X \ dV

Ox* Ox \ i\^ I p Ox \ p / tlp

dV ri y.^ -1

ds L? '/ ■

De même :

dp- p-

- dp* f

20 THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOMEy ^

Ajoutons ces trois dernières relations, membre à membre - il vient :

AV— i!L^ 2 dV

dp* p dp

I/équation (l) devient donc :

* ' dp- p do

Nous avons remplacé Téquation aux dérivées partielles par une équation difFércntielle linéaire du second ordre. Or nous connaissons deux intégrales particulières de cette équation • ce sont :

V=l et V = — .

L'intégrale générale est donc :

A et B étant des constantes.

Calculons A et B.

Vf

Au centre, le potentiel doit être égal à — , car, dans Tintégrale / [x'— ^, v est égal à a, rayon du cercle. Donc, pour = 0, V doit se réduire à -y-, ce qui exige que Ton ait :

et ce qui nous montre cpie le potentiel est constant en tout point

intérieur et ejral a .

Voyons ce (jui se passe pour un point extérieur à la sphère.

En tout point exférieur, ré([uati()n |2) est vérifiée et le potentiel

est encore de la forme (X), les constantes A et B n'ayant pas la

même valeur que dans le cas précédent. Calculons ces nouvelles

valeurs; pour cela, remarquons que, si p augmente indéfiniment,

on a :

Lim pV=M.

POTESTIEL LOGARITIIMIQVE D'UNE CIRC OSFÉREyCE 21

ce qui exige que Ton ait :

et, par suite,

12. Potentiel logarithmique d'une circonférence. — Soit une circonférence attirante homogène, dont le centre est à Torlglne des coordonnées. Proposons-nous de calculer le potentiel logarithmique V en un point M de son plan. Remarquons que V est une fonction de deux variables seulement, x et y, et qu'à Tintérieur comme à l'extérieur de la circonférence, cette fonction satisfait à l'équation de Laplace :

ù*V ù*V * ' ùx* ùy*

Dans le cas particulier qui nous occupe, la circonférence étant homogène, V ne dépend que de la distance p du point attirant au centre. Nous pouvons alors transformer Téquatlon aux dérivées partielles (4) en une équation différentielle linéaire et du second ordre. On a en effet :

iw av X

ùx dp p

iW (IV V

dy dp p ' ùx* "" Ox V dp ? )~ ? dx\ dp ) "•" dp Ox \ p /

i AiV AV / I jj2

X* d'V dV / 1

?' dp* dp \p p*

d'V __ y' d'\ dV / L \^\

'îf' ~ :J d:J "^ d? \ 'f ) '

d'où

iVV 0*V d^V 1 dV

dx- ' Ov* dp* ' ? dp

li TBEOÊIE or eOTM.yTI£L JÊWTOJfteX

àJ '. d:

On connaît dif-ax «'>Iatioa« particaliëre» de cettC' équation :

V=l V=lo2:.

L'int^grali» générale est donc de la forme :

V = A — B.Iog-^.

qui #;«kt une combinaison linéaire des deux précédentes. Calculons A et B pour un point Intérieur.

Au centre, le p<jtentlel est :

^ log -^ ;jL d w = M. log -^,

a étant le rayon de la circon té renée. L'expression 5 doit donc

se réduire à M log -^ pour z = 0. Ce qui exige que l'on ait :

A = M.loa

Le potentiel est donc constant en tout point intérieur et a pour \ illeur :

V = Mlog — .

M a toujours la nK^mc signification : c'est la masse totale de la eirconlérenee.

Passons au cas d'un point extérieur au cercle; nous nous appuierons, pour traiter ce cas, sur une propriété démontrée au paragraphe (8 : (juand p augmente Indéfiniment, on a :

LimA'— Mlog-^)=0.

POTENTIEL LOGARITHMIQUE D'UNE CIRCONFÉRENCE 'li

Donc, quand, dans la formule (5), on fait augmenter p indéfinlnient, V doit se réduire à

ce qui exige que Ton ait :

B = M, et donne pour la valeur du potentiel :

V = Mlog^.

Tout se passe comme si la masse totale était concentrée au centre du cercle.

13. — Indiquons encore une troisième méthode pour obtenir le potentiel newtonien d'une sphère et le potentiel logarithmique d'une circonférence.

Cette méthode repose sur la propriété suivante : Soient une sphère de centre (fig. 10), M un point qui n'est pas sur la sphère, AB le diamètre issu de M, enfin M' le point qui sur AB est conjugué harmonique de M par rapport à A et B. Si M est extérieur. M' est intérieur, et réciproquement; de plus, si Ton pose :

PM=r, PM' = r,

P étant un point quelconque de la surface de la sphère, les triangles semblables OPM et OPM' donnent la relation :

— - = const. = -^,

quand le point P se déplace sur la sphère.

Cette propriété est vraie également de la circonférence do cercle.

Cela posé, proposons-nous de calculer le potentiel newtonicMi d'une surface sphérique homogène.

24 THEORIE DU POTESTIEL KEWTONIEN

Supposons qu'on connaisse la valeur constante

(lu potentiel a Tintérieur; on peut en déduire rexpression du potentiel en un point extérieur quelconque M. Soient, en effet, V le

Fig. 10.

potentiel cherché en M et V le potentiel au point M' conjugué de M; on a :

d'où :

Dr M' est intérieur, donc V'=:

— ; la relation (6) donne V

Inversement : connaissant le potentiel à Textérieur, on en déduit le potentiel ii l'intérieur.

Par le même procédé, on peut trouver le potentiel logarithmique d'une circonférence en un point extérieur, quand ou le connaît à l'intérieur du cercle. Soit, en effet, M le point extérieur où Ton veut calculer le potentiel V; soient M' le conjugué de M et V le potentiel en M'; on a :

fV;

ATTRACTIOS D'UNE DROITE HOMOGENE

ds' étant Télément d'arc de la circonférence dont la densité est supposée égale à Tunité. On a :

V'=riog-^ds' = Aog-^ds'

Or

= M log — .

V = M log -î^;

V = M loff -i^.

14. Attraction d'une droite homogène sur un point extérieur. — Soit une droite attirante AB, homogène, <le densité jjl' (fig. 11). Supposons d'abord cette droite limitée aux points A et B et proposons-nous de calculer le potentiel newtoniende cette droite en un point M extérieur.

Prenons la droite AB pour axe des z et choisissons l'origine O entre les points A et B. Soient Q la projection du point M sur la droite, P un élément de longueur <le celle-ci, ds' la longueur de cet élément; enfin appelons x,y, z les coordonnées du point M, x', y', z' celles du point P, et r la distance M P. On a : Fig. u.

ds' = dz',

Posons en outre :

MQ^v'x'+y', QP = z — z,

= Vx»4-y='-l-(z'— z)*.

OA = a, OB = — b ;

a ^t h VfOt <Je<» qnaBlîtés positive:» si la dirccti<Hi de Taxe des % *^l cell*- du s^^rment BA.

Le potentiel ^n M a poar expression :

I^ val*-ur de rîntrgrale indéfinie est :

'X IftîJ U z |3L- \- Z Z*.

= ;x log UP MP

Remarquons que MP est essentiellement positif aa lieu que PQ est doué de signe.

I/intéffralf dôlinie V a pour valeur :

gv ^ MA

Ci- qui peut s'écrire :

, , MA-^OA . OA^MA) MB + BQ)

^-:-K- ^,B Bo -'-'-g MB^W

.: a' lojr (^A -^ MA -f^ a lorr MB 4" BQ — :x log [mIP — BQ*] ^ a log (^V -^ MA -- a lc»g MB — BQ — a' log MQ*.

Supposons la droite très longue, c'est-à-dire a et b très grands, mais X, y, z finis. Nous pourrons négliger des quotients tels

que :

La somme QA-f-MA est alors très voisine de 2a; en effet : (,A + MA ^ 2 OA 4- MA — OA) +(QA — OA; .

Il sullit de montrer que Terreur relative commise en négligeant les différences (MA — OA) et (QA — OA} est très petite. Voyons (Tabord la seconde différence QA — OA ; on a:

(^A — OA -= — OQ ;

ATTRACTION D'UNE DROITE HOMOGENE u;

Terreur relative commise en la négligeant est :

OQ z OA ~ a '

qui est négligeable en vertu de la remarque précédente. Voyons maintenant la deuxième différence MA — OA. Le triangle MQA donne :

MA<MQ + QA,