RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICIILET LA MÉTHODE DE NEUMANN

135. Principe de la méthode de Neumann. — La méthode du balayage, exposée au chapitre précédent, fournit une démonstration rigoureuse et générale du Principe de Dirichlet, La méthode de Neumann, dont nous allons nous occuper maintenant^ a le même but. Au point de vue de la généralité, elle est inférieure a la méthode du bahiyage. Mais elle a l'avantage de bien mettre en évidence l'identité des fonctions harmoniques et des potentiels newtoniens.

Nous étudierons concurremment le problème intérieur et le problème extérieur de Dirichlet. Nous nous placerons dans le cas de l'espace h trois dimensions. Mais ce n'est que pour fixer les idées. On verra sans peine que les raisonnements peuvent encore être faits quel que soit le nombre des variables indépendantes.

Considérons une surface fermée S limitant un domaine intérieur T et un domaine extérieur T'. Nous supposerons que la surface S possède en chacun de ses points un plan tangent unique et deux rayons de courbure principaux bien déterminés, ^-ela posé, nous voulons résoudre le problème de Dirichlet à la ''-^îs pour le domaine T et pour le domaine T'.

I^a méthode deXeumann consiste à chercher une double couche portée par S dont le potentiel newtonlen soit précisément la »^ notion harmonique inconnue que l'on veut construire.

^'ous verrons que l'on peut toujours réussir à déterminer la ^^uble couche en question dans le cas du problème intérieur. ^*^î^is, pour le problème extérieur, il n'en est plus ainsi. 11 est

POixcÀRÉ. Potcnt. Ncwt. 19

i90 TIlÉOniE DU rOTESTlEL ^EWTOStEN

facile de se rendre compte de cette dernière particularité. Soit V une fonction hurnioniciue ii Textérieur d'une sphère de ravou R et rôjçulière à Tinfini. On a :

en appelant :

îles fonctions sphériques et en posant :

Ce dèveloppeinent est valable pour :

Supposons que V soit un potentiel newtonien. Alors on peut écrire :

lim^-, pV = M,

M étant la masse totale qui engendre le potentiel V. Si ce potenliel est celui d*une double couche, on a :

NLùs» en général :

1 ela entraîne donc :

I\m con>equent, une condition est requise pour qu'on puisse roM>udre le problème extérieur de Dirichlet au moyen du potentiel d'une double couche.

\ouH Nenvns d'ailleui^ que Ton parvient toujours à résoudre le p^^d^bMue extérieur en siq>erposant sur la même surface S une vnuple couche et une double couche de matière attirante.

^x% l\;q>pelons d'alnu^l, en quelques mots, les propriétés fondyMyeut.Oo'^de> potentiels de doulde couche.

^»^H W un pareil potentiel, i/est une fonction régulière à \ \\\\\\\\ et h.Mu^onique en tout point de Tespace, sauf sur la surface ^\»S\\e y\\\\ porte la douille couche.

RÉSOLUTIOS DU PROBLEME DE DIRÎCULET i^l

Lorsque le point courant M se rapproche indéfiniment cVun point y\^ de S en restant intérieur ii S, W tend vers une limite que nous désignerons par V. Lorsque M tend vers M^ en restant à l'extérieur de S, W a encore une limite que nous désignerons cette fois par V. Si [x est la densité de la double couche au point M^, on a :

V— V = — 47:ix.

Enfin la valeur de W en M^ est :

Nous supposons ici la matière attirante qui constitue la double couche répandue sur une surface fermée S. Les éléments do)' de S sont alors regardés comme ayant leurs côtés négatifs tournés vers l'intérieur de S. Quant ii Tangle solide d^ sous lequel d<o' est vu du point x, y, z, il est positif ou négatif suivant que do/ est vu par sa face externe ou par sa face interne.

137. Soit ^ une fonction donnée, définie en tout point de S, uniforme et continue dans le même domaine. Appelons A un paramètre réel.

Proposons-nous de déterminer une double couche portée par S, de telle façon que son potentiel W satisfasse au voisinage do chaque point de S a la relation :

C'est ce que j'appellerai le problème de Neumann. Supposons ce problème résolu et faisons :

Le potentiel W correspondant vérifiera la relation :

Le problème de Dirichlet extérieur est ainsi résolu. Faisons maintenant :

i^i THÉORIE DC POTENTIEL yEWroyiEX

Le potentiel W correspondant vérifiera la relation.

Cette fois, ce sera le problème de Dîrîchîet intérieur qui sera résolu-

Fînalement. on voit que nous sommes ramenés à la recherche du problème de Neumaun.

138. Considérons \V comme une fonction de a. Admettons que W puisse être développé en série ordonnée suivant les puissances croissantes de /.. On a alors

W = \V.-h/AV, + ... + /nV. + ...

V = \\ -+- ÀV, + ... + A'V- + ...

U = l\ -f /X\ + ... + /JUj + ...

Voyons si de pareilles séries peuvent vérifier toutes les conditions imposées ù la fonction \V que Ton cherche. D'abord il faut, pour cela, que Ton ait :

A\V, = 0, A\V,=0,... AWi = 0...

en tout point de Tespace, sauf sur S. Cela aura lieu si nous prenons pour :

les potentiels de certaines doubles couches.

Maintenant la relation :

Y — V=AiY+V) + 2cI>

donne :