V.V'. = -4«jx

D'où :

ce qui détermine de proche en proche les densités des doubles couches envisagées.

Cela posé, nous avons deux questions ii résoudre :

1® Peut-on construire les séries (1)?

2® Ces séries sont-elles convergentes ?

C'est ce que nous allons examiner.

139. Développement de la méthode de Neumann. — Posons pour abréffer :

Prenons :

•Ji9i TUÉORIE Dr POTESTIEL SEWTOSIEy

\V, sera le potentiel d'une double couche portée par S. Donc la l'onction \V| sera régulière à rînfini et harmonique en tout point de Tespace non situé sur S.

D'autre part, on aura bien :

Vi — V| = — 4:T;Xi et, si Ton pose :

on pourra écrire :

D<»nc Wj remplira toutes les conditions prescrites.

Les fonctions \Vi peuvent être formées de proche en proche à partir de la fonction <> donnée.

Kn effet, on a d'abord :

Maintenant, \s\ étant connu, il est clair que V^^ V'^ U,, le sont aussi. Donc on peut calculer jjLj. D'où :

Kt ainsi de suite.

Finalement on peut écrire :

Donc les fonctions ^Vi peuvent l'être formées de proche en proche

et, par suite, les séries (1) peuvent être construites sans anibi-

gui te.

RÉSOLi'TION DU PROBLÈME DE DJRICIILET i^^

Remarque. — Sî l'on a :

il est clair que \V^ égal h

' 2 en tout point de T

1 en tout point de S

en tout point de T

car :

1 d^'==2...slx,y,z est dans T

I dô' = 1... six,y,z est sur S I dO' = 0,.. six,y,z est dans T.