Étudions maintenant les fonctions

Supposons que la surface S soit con^^exe et possède en chaque point des rayons de courbure finis. Nous excluons ainsi de nos considérations les surfaces qui ont des portions planes ou cylindriques.

Ces hypothèses ne sont pas toutes indispensables. Neumann a étendu sa méthode à toutes les surfaces qui ne sont pas biètoilées, c'est-a-dire où tous les plans tangents ne vont pas passer par Tun ou l'autre de deux points fixes (comme cela aurait lieu dans le cas d'un cube ou dans le cas du solide commun a deux cônes). Mais, pour slmplirier, nous nous bornerons au cas, déjà très général, qui a été signalé.

Figurons la surface S (fig. 85). Soit M' un point de celte surface situé au centre de gravité de Télément dw'. En vertu des hypothèses faites sur la nature de la surface S, on peut tracer une sphère S tangente à S en M' et contenant toute la surface à son intérieur. Soit O le centre de cette sphère ; désignons par A le point de £ qui est diamétralement opposé à M' ; il est clair que M'A est la normale à S en M\

Supposons maintenant que le point courant x,y,z vienne se placer sur S en M. Jolfi^nons MM' et posons :

dM^ = '}.

295 THÉORIE DU POTESTIEL NEWTO^iEN

On a évidemment :

cos it ^ 0,

quel que soit le point M, puisque la surface S est convexe. Ici ài' est constamment négatif, d'après nos conventions, car.

Fig. 85.

la surface S étant convexe, on n'en peut voir, quand on se plac* sur elle, que le côté interne. On a donc :

dy=

dw' COS'-};

MM''

si l'on remarque que do*' est, en valeur absolue, l'élément de 1 sphère de rayon 1 décrite de M comme centre dont la perspec tive sur S est du'. On conclut de là :

de'=

1 dw'cos'^ 2^^ lF~

RÉSOLVTIOy DV PROBLÈME DE DIRICIILET 297

Posons maintenant :

en appelant R le r.iyon de la sphère S. La sphère S a pu être choisie de façon que la même valeur de R convienne pour tous les points M' de S. On a :

M'B = M'A cos i,

B étant le point où M'AI coupe S. puisque le triangle M'BA est rectangle en B. D'autre part :

et :

car :

D'où :

de'>o

,^, 1 d('/cos'i ^•^ MB'

MB > MM'.

de'>

SttK* cos i

<lw'

Posons :

SttR

On a finalement :

d6'>Mdw'.

Cette inégalité nous servira tout à l'heure.

141. Considérons Ui. C'est une fonction continue sur S. Donc elle a une limite supérieure Gj et une limite inférieure Hj. Kcrivons :

Si le point M est situé sur la surface S, on a :

THEORIE Dr POTESTIEL SEWTOSIEy

Donc, en désignant ifig. 86) par \1\ la valeur de l\ en M', on peut écrire :

Si M se déplace sur S, U|^, varie et atteint son maximum G|^, en un certain point M, et son minimum Ili + i en un certain point M,. Appelons alors :

— ItAV, —2tA%, —2tA%

les angles solides sous lesquels de»' est vu respectivement des points :

Dans ces conditions :

Or:

Donc on peut écrire :

On en conclut :