Faisons

et désignons par \V la somme de la série convergente :

W,+ W,-f-... + Wi + ...

Il est clair que \V est une fonction de x, y, z bien définie en tout point non situé sur S et régulière à Tinfini.

Je dis que W est une fonction harmonique en tout point de l'espace, sauf sur S.

Kn effet, il en est ainsi de chacune des fonctions Wj. Or on peut écrire :

car la série :

SB a',

dont tous les termes sont des constantes, est convergente. Mais

on a :

lW>I<B;a'.

D'où :

D'autre part :

Ainsi la série :

Bjji'H-Wi>0.

2(Ba' + WJ

a ses termes tous positifs et est uniformément convergente. De plus tous ses termes sont des fonctions harmoniques tant à l'intérieur qu'à l'extérieur de S. Donc sa somme, en vertu du

îoi rUKOHIE Dl POTESriEL SEWTOSIEy

Mais, puisque Ton a :

(Ml peut écrire :

On conclut de là :

ir.|<Au'.

c'i'st-à-dirc :

•Ml posant :

Maintenant, W, est une fonction régulière ii Tinlini et lu niipie tant ;i Tintérieur (pi'ii rexlérieur de S. (l'est donc ; surface S elle-même cpie W^ atteint son maxiniuin et son mu m. Kn d'autres termes, on a :

I \Vj ! < max I Vj |... dans T j W'i j < max| V, |...dansT'.

I)\ui tinalement :

I W. I < Ba'.

aussi l)ien à l'intérieur k\\\\\ Textérieur de S. 143. Keprenons la série :

On a. en vertu de ce qui précède :

|>'\Vii<B|).;xl'.

Donc la série envisagée est abscdument et uniformément co génie si :

3o4 TlIKOniE DU POTESTIEL KEWTOyiEy

théorème de Ilarnack, est une fonction harmonique dans le même domaine.

On peut dire la même chose de la somme de la série :

puisque celle-ci est une constante.

Kn définitive, W est une fonction harmonique en tout point de l'espace qui n'est pas situé sur S.

145. Reprenons le cas où A a une valeur quelconque et voyons ce qui arrive quand le point x,y,z tend vers un point M^, de S en restant toujours à Textérieur de S.

Dans ce cas, on a :

lim Wi = V|

par définition. Mais :

D'où :

limW^=U, — <ï>

lim^VJ = U, — Uy

lim^Vi = Ui — u»,

La série :

est convergente. D'autre part, la série :

W,+ /AV, + ... + A'Wi + ...

est elle-même uniformément convergente. On conclut de la

li,nW=2À'(U.-l'.,),

en vertu d'un théorème bien connu de la théorie des séries. Tout ce qui précède suppose :

HÉSOLVTIOy DU PROBLÈME DE DJIiJC/ILET 3o5