Deuxième cas

Occupons-nous d'abord du problème intérieur.

Prenons la fonction donnée O. Sa connaissance conduit à la

POiNCÀRÉ. Potcnt. Newl. qo

i'6 TUEORIE bV POTESTIEL SEWTOyiEy

rniiiiiiissunce Je hi constante CI qui, par hypothèse, est ici différente Je zéro.

(Changeons maintenant 4> en 4» — (I. et refaisons les mêmes ealculs. Il est clair que \\ Jevient :

f^ ft^ C AV rest-à-Jire :

<iu enfin :

De interne l", Jevient l", — i\ et, en général, l'j devient Uj — C. Dans les mêmes conJitions« les quantités :

Ci et Hi

Jeviennenl :

G. — Cetlli — C.

Alors la nouvelle constante (' se JéJuit Je la première par soustraction Je C : elle est nulle.

On est ainsi ramené au cas où (- est nul. On peut Jonc résouJre le problème Je Dirichlet, en se Jonnant les valeurs Je <ï> — (] pour valeurs Je la fonction harmonique cherchée sur le borJ Ju domaine T.

Soit \V la solution obtenue. C/est une fonction harmoni([ue en tout point Ju Jomaine envisagé. De plus :

lim\V = cI)C,

([uanJ le point x, y, z tenJ vers S en restant à l'intérieur Je T. Posons alors :

Il est clair (jue V est encore une fonction harmonique Jans T. Mais, cette fois, on a :

liin Y = <P.

(|uanJ le point x, y, z vient se placer sur S.

D'autre part, \V est le potentiel en un point intérieur à T J'une double couche portée par S. Or la constante (1 peut aussi être

RÉSOLVTJOy DU PROBLEME DE DHilCHLET So;

regardée comme le potentiel en un point de T d'une double couche homogène portée par S. Donc \V+ C est encore un potentiel de double couche.

Le problème intérieur de Dirividet est donc résolu dans tous les cas au moyen d'une double couche portée par S.

148. Passons maintenant au problème extérieur. Nous allons voir que la même conclusion ne subsiste plus : si C est différent de zéro, on ne peut plus résoudre le problème en question en se sei*vant seulement d'une double couche portée par S.

Tout d'abord, il est clair que Ton ne peut plus employer Tartiiice qui a conduit à trouver la solution générale du problème intérieur. En effet, il est toujours possible de former la fonction harmonique W qui tend vers <P — (1 quand on s'approche IHidé- (iniment de S par l'extérieur. La fonction ^V + (I vériHe bien encore l'équation de Laplace. Mais ce n'est pas une fonction harmonique, car elle n'est pas régulière à l'infini, \V l'étant et (' étant une constante. De plus, il est exact que \V est un potentiel de double couche ; mais la constante (] ne peut pas être regardée ici comme le potentiel en un point extérieur d'une double couche homogène portée par S, car un tel potentiel est nul dans tout l'espace extérieur îi S.

D'ailleurs nous avons vu (S 135) qu'il existait une condition nécessaire pour que le problème extérieur de Dirichlct soit résoluble par le potentiel newtonien d'une double couche de matière attirante répandue sur S. Or :

est une condition sudisante. C'est alors la condition nécessaire et sudisante en question.

Voyons donc comment la méthode de Xcumann permet de résoudre le problème extérieur de Dirichlet quand la constante (^ n*est pas nulle.