Soit W un potentiel de double couche

Prenons un point M à l'extérieur de S (lig. 87) et un point à l'intérieur. Puis posons :

OM=f.

Il n'est pas possible de trouver une double couche portée par S

dont le potentiel W coïncide avec la fonction à rextérîeur

de S. En effet, W étant un potentiel de double couche, on aurait :

et, d'autre part, W coïncidant avec , on devrait avoir :

ce qui est contradictoire.

Désignons par 4>' Tensenible des valeurs de sur S. Il

exi jtc une fonction \s' harmonique dans T' et se réduisant à — <!>'

sur S : c'est précisément la

fonction — . Cette fonction,

nous venons de le voir, ne peut être regardée comme un potentiel de double couche.

Mais il est certain que c'est le potentiel d'une simple couche portée par S : cette simple couche est d'ailleurs la couche équivalente provenant du balayage d'une masse +1 placée en 0.

Cela posé, appelons C la constante que l'on peut former avec <!>' comme on a formé lu constante C avec 4>. On a évidemment :

sans quoi \V serait un potentiel de double couche. Posons :

a étant une constante laissée indéterminée pour le moment. A la fonction <b" définie sur S est attachée une nouvelle constante C" qui est liée aux précédentes par la relation :

C' = C + aC'

Fig. 8

RÉSOLCTIOS DU PROBLÈME DE DIRICIILET 3o9

Prenons :

C+aC'=0

c'est-à-dire :

La valeur de a est bien déterminée, puisque :

Ayant ainsi choisi a, on a :

On peut alors résoudre le problème extérieur de Dirichlet au moyen d'une double couche dont le potentiel \V prend les valeurs — d>" sur S.

Posons maintenant :

II est clair que Ton a :

à Textérieur de S. La fonction V est harmonique dans T' ; elle est régulière à l'infini ; enfin, quand on approche indéfiniment de S par l'extérieur, on a :

lim V = — *!»"+ a*' = — $.

Donc la fonction V résout le problème proposé.

Il est manifeste que V peut être regardé comme la somme de deux potentiels, l'un dû à une simple couche, l'autre dû à une double couche, portées toutes deux par la surface S.