M Telle est la valeur de la constante

151 . Emploi des potentiels de simple couche dans la méthode de Neumann. — Cherchons à transformer la solution obtenue par la

méthode de Neumann pour le problème de Dirichlet tant intérieur

qu'extérieur. Nous allons montrer qu'on peut considérer des

simples couches au lieu des doubles couches envisagées partout

jusqu'à présent. Nous supposerons pour cela que l'on a :

Prenons d'abord le cas du problème extérieur.

Appelons x, y, z les coordonnées du point courant M situé dans le domaine T' et x', y\ z' celles d'un point M' de S placé au centre de gravité de l'élément do)'. Les autres notations adoptées sont d'ailleurs les mêmes que dans les paragraphes précédents.

On a :

Mais on peut écrire :

de-— ^^

et :

dï' =^r^ du>', an

en désignant par r la distance MM' et par — i — la dérivée de — prise dans la direction de la normale extérieure a S par rapport

RÊSOLl'TIOS DU PROBLÈME DE DIRICIILET 3i3

à X, y, z regardés comme variables pendant que x', y', 7/ sont regardés comme constants.

On conclut de là :

Or:

D'où :

Servons-nous de la formule de Green. Regardons pour cela — et

^^i, comme des fonctions de x\ v\ z' renfermant les paramètres

X, Y, z. Dans ces conditions, dépend à la fois de x, y, z

cl(lex\y',z et Ton a:

a(— ) = 0... dansT

en posant :

(V 0- iV*

iV^ ' Ov- • ùz- •

\Uanlà Wi i, dont la valeur sur S est Vi i quand on reste à * intérieur de T, c'est une fonction de x',y', z' vériliaut aussi la ï'Platlon :

A^Vi l = 0... dans T.

^^n a alors :

en désignant par :

dn"

;ii IHF.'tf:!F. bV Vt'TKSTlF.L SEWTOyiES

\^< Jt-rlv^f ^ suivant l;i iiurmale prises par rapport à x . \ , z Mais pour et W. ... on a :

(In dn

I)inir nn peut *^crire :

dci>'.

D'où :

' «iv..

On viiil par lit qui? \\\-;- \V,, est le potentiel d'une simple r<iuche r('*pandue sur S avec la densité :

1 <iv..t