I -x dt-j '^= I u dti
I^n> le cas »-tu«li<ê' plus haut. la masse totale de la couche don ;•?• pttr-ntîel est T a p«^ur valeur :
M = r^ / = dw .
/ -^\^^d^> = /'A\\\,dT=0.
» r dn ^ T
Donc la masse totale M est nulle pour toutes les valeurs de l'indice i.
156. Je dis «|ue Ton peut prendre pour T, le potentiel d'une distribution superficielle quelcon«|ue, pourvu que la masse totale de la couche ainsi considérée soit nulle, et calculer ensuite h\ succession d»*s lt»nctions T de proche en proche par le procédé indiqué. On est touj«iurs assuré «jue T, tend vers zéro quand i au:imente îiidetininient.
Pour établir cette proposition, il faut d'abord résoudre un problème préliminaire. C est ce que je vais faire, et, pour cela, je me servirai des résultats obtenus à propos du problème de Dirichlet par la méthode de Neumann exposée ci-dessous.
Soit une surface fermée S délimitant un domaine intérieur T et un domaine extérieur T'. Nous ferons sur S les mêmes hvpothèses quà propos de la métbode de Xeumann. Enfin désignons par »l> une fiuiction continue donnée sur S.
Priq>osons-nous de construire une fonction U telle que Ton
ait :
Al' — dans T.
dr , ^
—. — = <l> sur S.
dn
RKSOLUTIOy DU PROBLEME DE DIRICULET 3ai
Hest clair que, si U est une solution, U + C en est une autre, C étant une constante arbitraire.
D'abord, si U est une fonction répondant ii la question, on a :
Jis) (In ,/(T)
D*oii :
(^est là une condition évidemment nécessaire pour que le problème soit possible. Nous la supposerons remplie.
Imaginons une simple couche de matière attirante répandue sur S, la densité en chaque point étant :
Soil T le potentiel de cette simple couche. Désignons par T la valeur de ce potentiel en un point intérieur a S et par T' sa valeur en un point extérieur. On a, en tout point de la surface S :
et :
dT dT'
dn dn
Soit maintenant W le potentiel d'une double couche portée par S Appelons W et W ses valeurs respeclivement en un point intérieur à S et un point extérieur à S. On a :
et:
dW dW
dn dn
en tout point de S. Admettons en outre que Ton ait pu choisir la densité de la double couche de façon que l'on ait encore sur S :
pOiNCARÉ. Poient. Newt. ui
3ia THÉORIE DU POTESTIEL SEWTOMES
Posons alors :
On a :
di: dL" ^ = — =^
dn dn
sur S. Mais, dans les mêmes conditions, il est visible que :
Or U' est une fonction harmonique à l'extérieur de S et régulière à rinfini. D'où :
il l'extérieur de S. Alors:
dn
Par consé({uent
dn
D'autre part :
à l'intérieur de S. Finalement la fonction U résout le problème proposé.
158. Il reste un point encore à examiner. Peut-on déterminer un potentiel de double couche W par les conditions suivantes :
AW=0 .... à l'extérieur de S. ^V' = T' . . . . sur S.
Nous avons vu qu'il n'en était rien. Dans nos études sur la méthode de Xcuniann, nous avons reconnu qu'une condition était requise : une certaine constante C doit être nulle.
D'autre part, nous avons découvert une condition nécessaire pour la possibilité du problème actuel :
) iS
Comme :
est la condition nécessaire et suflisante, c'est que les deux conditions :
C = 0, f ^dt«)'=0,
sont équivalentes.
Donc, d'après notre hypothèse du paragraphe précédent, on peut certainement calculer W et, par conséquent, notre problème est bien résolu.
159. Proposons-nous, pour terminer, de résoudre le même problème dans le cas où le domaine envisagé est constitué par la partie de l'espace extérieur à S.
Nous devons avoir :
AU' = 0. . . . h l'extérieur de S.
dU'
= — ^ . . sur S.
Formons une simple couche portée par S et ayant pour densité en chaque point -7 — . Soit T son potentiel. On a toujours :
dT dV
dn dn
sur S.
D'autre part, on peut, dans tous les cas, trouver une double couche portée par S dont le potentiel W, défini et harmonique en tout point intérieur h S, tende vers — T quand on se rapproche indéfiniment de S par l'intérieur.
Posons alors :
Sur S, on a :
Donc :
y^i TUHORIE DV POTESTIEL SEM'TOyiEy
à rintèrieur de S. Par suite :
du
Mais il est clair que :
lu du
On en conclut :
du Dautre part, on a :
AU =0 à rextêrîeur de S.
Le problème est donc résolu.
Ici il nVxiste aucune condition de possibilité.
160. Kevenons maintenant aux fonctions T| considérées plus haut.
Nous voulons montrer que T, peut élre regardé comme le potentiel d'une distribution quelci»nque dont la masse totale est nulle.
Kn ellel on a, en reprenant les notations du paragraphe 154:
l / dn , .
D'après ce qui précède, nous pouvons choisir W^ de façon que :
