LES FONCTIONS FONDAMENTAF.ES

162. Énonoé. — Le chapitre YIII contient un exposé de la méthode imaginée par Neumann pour résoudre le problème de Dirichlet tant intérieur qu'extérieur. Nous savons l'importance de cette méthode, non pas peut-être pour établir le principe de Dirichlet — puisque la méthode du balaj'age sulfit à cet égard, — mais pour manifester l'identité des fonctions harmoniques et des potentiels newtoniens. Il est donc intéressant de chercher à donner à la méthode de Neumann toute la généralité possible. C'est ce que nous allons faire.

La preuve de la convergence des séries considérées par Neumann n'a été faite jusqu'ici que dans Thypothèse où la surface .donnée S est convexe. Nous allons montrer que cette hypothèse n'est pas indispensable.

Le développement complet des considérations qui vont suivre serait trop long pour trouver place dans ce cours. On pourra le chercher dans un mémoire inséré aux Acta Mathematica en 1896. Nous nous contenterons ici d'un aperçu qui fasse entrevoir dans quel sens il faut chercher une extension de la méthode de Neumann lorsqu'on a affaire à une surface S qui n'est pas convexe.

163. Hypothèses. — Nous considérons toujours une surface fermée S délimitant un domaine intérieur T et un domaine extérieur V.

Cela posé, voici quelles hypothèses nous ferons désormais sur la surface S.

îiS THÉORIE DV POTESTtEL ^EWTOSIES

I^'abor J nous supposerons que cette surface possède en chacun de ses points un plan tangent unique et deux rayons de courbure principaux déterminés. Il est facile de voir avec précision ce que nous admettons ainsi. Plaçons l'origine des coordonnées en un point de la surface ; choisissons la normale en ce point comme axe OZ et le plan tangent correspondant comme plan XOY ; plaçons-nous d'ailleurs en coordonnées rectangulaires. Soit alors :

l'équation d'une petite portion de la surface autour de Torigine. Notre hypothèse est que lef fonctions :

et:

^hJ iVz' d*z

sont finies et continues dans le voisinage de l'origine. Celle-ci du reste doit être un point quelconque de la surface.

Nous supposonins en outre que le domaine T limité par la surface S est simplement connexe. Ola signifie que toute surface fermée contenue dans T peut, par une déformation continue qui ne lui fait jamais rencontrer la frontière du domaine envisagé, se réduire à un point de ce domaine.

Enfin nous ne considérerons, comme fonction <ï> donnée sur S, que des fonctions possédant des dérivées partielles de tous les ordres finies et continues.

delà étant, nous aurons à nous appuyer sur le principe de Dirichlet. Xous sommes donc obligés de le regarder comme établi déjà indépendamment de la méthode de Xeumann, par exemple par la méthode du balayage. Dans ces conditions, notre but est seulement d'étudier la convergence des séries de Neumann.

164. Rappel de certaines notations. — Soit W le potentiel newtonien d'une double couche portée par S. Si le point courant x,y, z tend vers un point fixe x', y', z' de S en restant toujours à