EXTENSION DE LA MÉTHODE DE SEUMA^S

rextérîeur de S, W a une limite que nous appelons V'. De même si x, y, z tend vers x', y', z' en restant toujours a Tintérieur de S, W a une limite V. Enfin la valeur de W quand x, y. z coïncide avec x', y', z' est bien déterminée ; c'est :

On sait que V n'est pas égal à V.

Cela posé, la méthode de Xeumann consiste h construire une double couche satisfaisant en tout point de S à la relation :

V— V' = A(V + V')+2cD,

 étant un paramètre arbitraire et une l'onction donnée des deux coordonnées qui fixent la position d'un point sur S. Posons :

v=yA'v»

u=yA'Lv

Chaque fonction Wj est le potentiel d'une double couche portée par S et l'on a :

On peut donc construire les fonctions Wj de proche en proche. 11 reste alors à étudier la convergence des séries précédentes.

Il n'est pas nécessaire d'établir cette convergence pour toutes les valeurs de A. On sait en eflet que la résolution des problèmes de Dirichlet intérieur et extérieur nécessite seulement la considération des deux valeurs :

et:

Finalement, nous pouvons nous borner à examiner le cas où ). reste compris entre — A^ et -\-\, \ étant un nombre positif quelconque supérieur à l'unité.

'iio TUÉORIE DU POTENTIEL SEWTOSIES

SL la surface S est convexe, le problème a été résolu. Nous allous montrer qu*il peut Tètre encore avec les hypothèses que nous avons faîtes. Cela peut sembler paradoxal, car les inégalités qui ont joué un rôle essentiel au chapitre VIII ne sont plus vraies quand la surface S n*est plus convexe. Néanmoins la méthode de Neumann réussit encore, et de plus il est probable quelle s'applique même dans le cas le plus général.