Posons maintenant

a et P étant deux paramètres réels laissés indéterminés pour le moment et d'ailleurs indépendants l'un de l'autre.

336 THÉORIE DU POTESTIEL NEWTOSIES

Voyons ce que deviennent J et J' dans notre nouvelle hypothèse. On a d'abord :

+ ?*//'- Tir-''"

cVsl-à-dire :

si Ton remarque que :

/^;iLLtidco=rVp.,-^da> = J,,.,.

c's, dn /s. ^ dn

De même :

D'où :

Finalement, on peut écrire :

11 résulte de là que J et J' sont des formes quadratiques définies positives des variables a et ,3. On a donc, en considérant leurs discriminants :

('es inégalités suHisent pour montrer que les séries :

EXTEySIOy DE LA MÉTHODE DE NEUMANN 33;

sont convergentes pourvu que Ton ait :

Maïs on ne peut encore rien dire du cas où ). est égal a di 1.

ni. Le rapport -p- . — Etudions le rapport -p- pour les différentes fonction \V qui sont des potentiels de double couche. Supposons que Ton ait :

Alors c'est que W se réduit à une constante dans T. Dans ce cas, \V est le potentiel d'une double couche homogène. Par suite, AV se réduit à zéro dans T'. Donc :

Ainsi l'égalité :

entraine l'égalité :

On verrait de même que l'égalité :

entraîne l'égalité :

Ainsi, dans le rapport:

le numérateur et Je dénominateur ne peuvent pas s'annuler l'un sans l'autre. On convint de là que ce rapport ne peut dei'enir ni nul ni infini. Il a donc une limite supérieure finie et une limite inférieure différente de zéro.

Ce qui précède n'est qu'un aperçu dénué de toute rigueur, car le rapport en question, par exemple, pourrait, sans s'annuler, être susceptible de prendre des valeurs plus petites que toute quantité donnée, auquel cas sa limite inférieure serait zéro.

poiN'CAJiÉ. Potcnt. Xcwt. aa

3î8 THÉORIE DV POTENTIEL NEWTOSIES

On peut, d'une façon pleinement rigoureuse, assigner à -y^ une

limite supérieure finie et une limite inférieure différente de zéro, Noos noos contenterons d'énoncer ce point, dont on trouvera la preuve complète dans le mémoire déjà cité des Acta Mathema* tica .

C^est dans la démonstration de la proposition précédente qu*inter\'ient celle de nos hypothèses en vertu de laquelle le domaine T est simplement connexe. C*est également pour faire cette démonstration que Ton doit supposer le principe de Dirichlet établi indépendamment de la méthode de Xeumann.

Quoi qu'il en soit, nous admettons désormais que Ton peut trouver un nombre *jl satisfaisant aux inégalités :

0<'JL<1

et tel €iue :

quelle que soît la ronctlon W choisie.

On a alors :

J — uJ >0

J — •jj>0.

Ces îiiég-alités vont jouer un rôle essentiel dans nos raisonnements.