EXTENSION DE LA MÉTHODE DE NEUMASN

inégalité qui est à rapprocher des inégalités semblables déjà obtenues.

Posons d'autre part :

D'où :

On déduit de là Tinégalité :

(Jfp+l ['*■'' îp+l) ^ !,"' Jp î^^'ipi V'îp^* "~ î^^ip+l)

analogue à la précédente.

Maintenant, on a :

«'(J^-[.j;)H-2a.3(j;,.- D'où Ton déduit par addition :

«*(j.p+Jip)(i-i-:

Nous sommes encore amenés à la considération d'une forme quadratique définie positive dépendant des deux variables a et [ï. Son discriminant est certainement négatif. D'où :

(J«p+i Mais on a :

- jv.)' <(4t7)'(^'' ^ ^'-^ '•''' ^ ' + ^^^''

^ip+l •'2p+ 1 — •'ap+î ~i Jîp+ !>• "•

Donc on peut écrire :

Jfp + J + Jipf î < l^ j^ I j (''sp + •'tp)

34o THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN

en divisant les deux membres de Tinégalité par la quantité positive :

Posons enfin :

On a :

Finalement, nous arrivons à l'inégalité fondamentale suivante :

C'est de là que nous allons tirer la preuve de la convergence des séries de Neumann.

173. Convergence des séries de Neumann. — Nous venons d'établir l'inégalité suivante :

On peut donc écrire :

Jjp + Jjp <^ ^ r îp-ï ~l~ •'«p-»)* Multiplions ces inégalités membre a membre. Il vient :

K + j; < \K + Ji) L''.

Posons :

Nous avons en définitive :

On conclut de là que l'on a à fortiori :

puisque :

EXTEySION DE LA MÉTHODE DE NEiMANy 34 1

Donc les séries :

sont convergentes comme la progression géométrique décroissante de raison L.

Nous allons déduire de là que les séries :

sont convergentes même pour X = +l et pour ). = — 1.

174. Reprenons la fonction W définie plus haut comme le potentiel d'une double couche quelconque.

Kcrivons :

On a

l'intégrale étant étendue à tout l'espace. Cette intégrale a un sens : elle représente l'énergie totale due à l'attraction de la double couche.

Considérons maintenant l'intégrale :

K = f UMw.

542 TUÉORIE DC POTEXTIEL XEWTOyiES

On a :

Ktudîons alors le rapport :

11 a certainement une limite inférieure, puisqu'il ne peut prendre que des valeurs positives. Mais a-t-il aussi une limite supérieure ? 11 est facile de voir que non. En effet, J + J' peut s^annuler. Cela a lieu lorsque W est le potentiel d'une double couche homogène. Mais, dans ce cas, le numérateur K reste différent de zéro. Donc le rapport en question peut devenir in6ni. In artifice va nous permettre de tourner cette diflficulté.