Considérons l'intégrale

M = f^:U — C)*dw,

C étant une constante.

Choisissons cette constante C de façon que Tintégrale M soit minimum. On a :

M = \\ U-dco — 2C \\ Udw H- C^ r dw.

Pour que M soit minimum, il faut et il suflSt que C vérifie la relation suivante :

/ Udco == C I dw.

Posons :

8= 1 dto,

S otrtut l'airv do la surface donnée. On a :

f Udw

r — il!

t uxisu^vons alors le rapport :

EXTENSIOS DE LA MÉTHODE DE yEUMASN 343

et cherchons a lui assigner une limite supérieure. Nous allons voir que c'est possible.

Pour que -= ry- devienne infini, il faut que J+J' s'annule. Si

cela a lieu, on a :

en tout point de l'espace. D'où :

Mais alors W est le potentiel d'une double couche homogène. Dans ces conditions, on a :

rUdco = Ur d(o = US.

D'où :

et par suite :

Ainsi l'égalité :

entraine l'égalité :

On conclut de la que le rapport :

est limité supérieurement.

Ce qui précède n'est qu'un aperçu. Mais on peut trouver une démonstration rigoureuse. Je ren\*errai encore pour ce point au mémoire déjà cité des Acta Mathemalica,

Quoi qu'il en soit, admettons que l'on puisse trouver un nombre B tel que l'on ait :

quelle que soit la fonction W choisie.

34Î TIIÈOniE DU POTEMIEL ^EWTOSIEy

176. Prenons la fonction W,.. A cette fonction est attachée une certaine constante C,, calculée au moyen de Téquatlon :

Posons :

On a, en vertu des conclusions du paragraphe précédent :

Or:

D où :

et Ton a en outre :

J*p — f— Jfp *^ Ali" .

M,<ABL*"

comme on Ta vu au paragraphe 172.

On conclut immédiatement de lii que les deux séries :

et :

v''^;"+ V'X+ • • • + v^Mi + . . .

sont convergentes à la façon d'une progression géométri(jue.

177. Soit Al' Tangle solide sous lo([uel rélément dw' ayant pour centre de gravité le point M\x', y, z) de S est vu du point

M (x, v^z). On a :

, , r , cos.|

(In r**

on désignant par r la distance MM' et par •{/ Tanglc de la normale il S en M' avec la direction de MM'. Je rappelle que nous avons posé :

clO'=— ^.

EXTENSION DE LA MÉTHODE DE NECMAISN 3i5

Cela posé, on a :

(Considérons l'intégrale :