I.-. =X,c,. de
C'est le potentiel d'une double couche homogène et il est manifeste que l'on a :
Ij^, = 2C,,i... quand M est intérieur à S
Ip i=:C,,i quand M est sur S
Ip.., = (juand M est extérieur h S.
Prenons alors le cas où le point M reste à Textérieur de S. On peut écrire :
VVp— / V^.- ^-.-^ du 2r.
Je veux montrer que la série :
est convergente.
En effet, partons de Tidentité suivante :
cjui est bien connue sous le nom A^ identité de Lagrange, On en déduit :
On passe aisément de cette inégalité à la suivante :
[ pf 'idw'] < J'^^dco' PlM(o'
où ^ et '\f désignent deux fonctions intégrables quelconques. Cette dernière inégalité est due à M. Schwarz.
On a d'après cela :
^^-LC:^-'-'-^-)^'^"']
Envisageons l'intégrale :
On peut écrire :
dO' 1 cos ^
D où :
D où .:
dco' 2t. r'
Jis) 4-*r'
Or, ici r ne peut pas s'annuler. Donc on peut assigner une limite supérieure G à H. Par suite :
et enfin :
WÎ<GM^,
WJ<GABL'f-*
On déduit de là sans peine :
IW^KV^ÂBG'L'*-' Posons :
, /Âiitr
On peut écrire :
|W,f<glA
(Considérons alors la série :
On a :
r/.'Wi<sÀL:',
KXTEySIOy DE LA METHODE DE yEVMASN 347
Donc la série envisagée est convergente comme une progression géométrique pour les valeurs de \ satisfaisant à l'inégalité :
En particulier, on peut prendre \ égal à +1. Comme tout ce qui précède est valable pour les points M extérieurs à S, on voit que le problème extérieur de Dirichlet est résolu.
178. Voyons maintenant ce qui se passe quand le point M(x,y,z) est situé à l'intérieur de S. Il faut alors modifier un peu les raisonnements précédents.
On a, cette fois :
w,- 2c,„. -/,,(U'p-. - c,.o de'.
On peut montrer d'après cela que la série :
est convergente. C'est alors le problème intérieur de Dirichlet qui est résolu. Les raisonnements sont d'ailleurs tout semblables i\ ceux du paragraphe précédent.
179. Pour que les conclusions énoncées à la fin de chacun des paragraphes 177 et 178 puissent être considérées comme rigoureusement établies, il reste encore à prouver la convergence des séries de Neumann pour le cas où le point M (x, y, z) est situé sur la surface S elle-même.
On ne peut plus faire les raisonnements qui ont réussi pour les cas des points extérieurs ou intérieurs. En effet, si nous envisageons maintenant l'intégrale :
le coefficient différentiel ne reste plus fini dans le champ d'intégration. Par suite le nombre G n'existe plus. Cependant on peut encore être assuré de la convergence de la série de Xeumann. 11 faut seulement construire une nouvelle démonstration. Je n'exposerai pas ici cette démonstration. Elle est contenue
ii8 TnÉORlF. Dr POTESTIEL SEWTOyiEX
dans le mémoire des -4r//7 mathematica dont j*aî déjà parlé. En voici seulement les conclusions.
Kn un point extérieur à S, on a, en désignant par g une certaine cimstante :
l^v,|<gL^
Kn un point intérieur on a de même :
;^v.,-(:,..l<gL-
Pour un point situé sur S, ces inégalités ne sont plus vraies. Mais, si Ton remarque ([ue Wp se réduit alors à Up et si Ton appelle h une nouvelle constante indépendante de p, on peut écrire :
Les conclusions relatives à la convergence de la série de Xeumannn ne sont pas modifiées.
180. Ck>nciiision. — Les considérations précédentes ne constituent évidemment que des aperçus. Mais une démonstration rigoureuse et complète est possible. On peut se rendre compte déjà do la direction dans lacpielle il a fallu la chercher et dans hn|nelle il faudrait marcher pour généraliser davantage encore les circtHistances où la méthode de Neumann s'appli([ue. Bornonsnous à conclure que cette méthode donne encore la solution du prohlème do Hirichlot quand la surface S n'est plus conçcrv. pourvu qu'elle soit toujours simplement connexe. 11 est probable momo qu\>n pourrait arri\er à se débarrasser de toute restriction relut i\o à Tordre de conne\ii>n du domaine envisagé.
181. Dèûnition des fonctions fondamentales. — Dans les chapitres prooodonts. j'ai chorché à donner partout à mes raisonnements un caractère do parlaite rigueur. Je veux maintenant ternunor par quelques indications où mon but sera moins d'obtenir lies conclusions dolinitivos que do l'aire entrevoir comment certains problèmes doivent être pi>sos.
Soit S une surface fVrmoo portant une simple couche de matière attirante. .Vppolons T le potentiel du à l'action de cette sintplo couche. Quand nous on aurons besoin, nous distinguerons
EXTESSIOy DE LÀ MÉTHODE DE N El MAS y 3 fcj
la valeur T de ce potentiel en un point intérieur à S et sa valeur T' en un point extérieur à S. Sur S, on a :
clT AT
(In "^ dn
comme nous l'apprend la théorie des surfaces attirantes. Formons les intégrales :
étendues respectivement aux espaces intérieur et extérieur à S, Le théorème de Green montre que Ton a :
dT ,
*'(S) ui>
et :
dT'
»',s, du
D'ailleurs on peut écrire ; •
j=rT-4^dc.
J{S) du
c'(S) du
Les deux quantités J et J' sont essentiellement positives. Elles ont donc chacune un minimum.
Assujettissons les fonctions T à la condition suivante :
Considérons, parmi toutes les fonctions T qui vérifient cette relation, celle qui fait prendre à J sa valeur minimum. Klle n'est certainement pas identiquement nulle.
Iâ#<3- *fimtu«"-HLî-
a*-nr " n Ufir
l*tLs«{flr- - r*^ mntfwifrw
Ul
IfU
. en
fifii- JA "-■oiiLnjin
*-• r— nur i -a ^iu-ian*
" rT
iii~"- lîi-"*. >a "jf'i^ -?*:t'"'* :
'ff l'î'l-TL r*f-J"^- 3.5 ;
-^ i. - : :.ir --i-^r-i" ij-*e> lu::'* d-? l'antre. Donc il e3d$te une
• dT . JT '^, ..
dn
da
que", que soit lo choix laiî p<:>ur la l'onetiun 5 T. On en conclut
EXTEysroy de la méthode de NErMAyy 35i
que la fonction T considérée — que nous désignerons, dorénavant par T, — vériGe la relation :
du * dn
en tout point de S.
D'ailleurs J atteint évidemment son minimum pour la fonction potentielle qui correspond à la distribution d'équilibre d'une couche électrique répandue sur la surface S regardée comme conductrice. Dans ce cas, on a :
dn
D'où :
Telle est la première fonction fondamentale.
Considérons maintenant les fonctions T vérifiant les relations
suivantes :
dT'
(S) dn
11 existe une fonction T, de cet ensemble qui rend J minimum. Le calcul des variations montre sans peine que cette fonction satisfait en tout point de S à l'équation :
dT, . ,, ar; , di;
lu-~^ = k
dn ' dn dn
Je dis que l'on a :
En effet, multiplions les deux membres de la précédente égalité par :
et intégrons. On trouve :
Tt <^t, , ^, r^^ dT; r di; ,
/ T. . * dto + h^ / T,— j — dw = k / T— j-i-dw, ^(S) * dn Vs) * dn J^s] » du
^J^ THEORIE Dr POTEMIEL yEUTOSIEy
Miùs on a :
{uiisi|ue :
ol t|iu» :
^'< ' du ^ - * du
