AT, = 0, AT
à lîntoiiour de S. D'autre part :
I T.-^Jo^l T.-i, -i- do, = 0, % s * du » - ' du
tu vertu des hypothèses faites. Kulîu :
dT I T -^do)^— J =—1.
• < du
Ooue :
Ou volt par là i|uo hi sectuule fouetiou roudamentale Ti vérifie
l,î relation :
dT, , dT. .
dn ~ du
l>'aillours ou a :
ilT. , . i\^ dT.
I T,4^dc.> — h. / T.-^do) = 0.
>. du "/^ " du
ee t|ui montre i[ue h, est piïsilil.
0\\ peut proeéder ainsi île proehe en proche. On définit dt' la sorte une suite illimitée de etMistantes positives croissantes :
li.h h....h....
:iu\(|uollos oorrospoiuloiit dos louctions :
T,TJ,.. T. .
E.XTEysroy de la méthode de y eu m a s s 55 3
jouissant des propriétés suivantes :
ATi = à riiitéricur de S
AT[ = () il l'extérieur de S
Tj = T[ sur S
— î h lii — i — = sur S.
du (lu
!>«.* plus T, est une ronctiou régulière à riufiiu. iMilin on a :
I T| — ï— !^d(o = 0... si I^^k
c'<) du
t T; — i-^ =0... si 1=5^ k.
» s.. du '
L4?s fonctions T| ainsi définies portent le nom de Foncdcns fan il a mcn ta les .
182. On peut (ornier l'acilenieiit les ionellons londanientales clans le cas de la sphère.
Appelons alors X„ une fonction sphérî(jue. Posons :
On a alors :
On a bien :
n * Il
et :
<lfu ■ " <lTn ^^^
dn n-f- l du
pour 0=1, en supposant ([uc* le rayon de la splière envisaf^i'o soit égal il Tunlté.
POIXCAR^:. Polciit. Nowl. -s»
i>4 TliF.oRir. bV rOTESTIEL SEWTOMEy
183. t.)n peut tMieore former les fonctions fondamentales dans le cas d'un ellipsi»ïde représenté par l'équation:
Passons en ellet en et>ordonnées elliptiques. Considérons les (juadriques définies par i*é4|uation :
IV — /. ir — /. C" — A
Ce sont les i|uadri(pies homofocales à l'ellipsoïde donné. Par cha(|ue pinnl de l'espace, il passe Inns de ces quadriques. Les valeurs C4»rrespondantesilu paramètre a seront désignées par p.;jL,v. On a par exemple :
Pour A-=c. . un ellipsoïde.
Pour /. = ;jL. . un hyperludoïde à une nappe.
Pour /. =v . unhyperholoïde à deux nappes.
Les nombres c, |jl, v ciMisliluent ce qu'on appelle les coordonnées ellipli(|ues d'un point.
On connaît la déiinition des fonctions de Luniè. FJles sont de la forme :
IIMN
et 1 on a :
Le produit IIMX définit une fonction harmonique à 1 intérieur (le la surface S donnée. Nous posons :
T=RMX.
Maintenant, on peut construire une fonction IV telle que le produit :
IVMX
EXTESSION DE LA MÉTHODE DE SEUMASy 355
-soit harmonique h rcxtérieur de S et que pour p == on ait :
On pose alors :
T = R'MX.
A une longueur infiniment petite prise sur la normale à l'ellipsoïde donné correspond un accroissement dp de p. On a d'ailleurs :
d;jL = 0, d/ = 0.
D'où
dT dll ,,,. dp
MX
du d z dn
•*'^'=aiMx ^''
D'où
(In cl i cin
