IK
On en déduit
do
dT , , dT ,.
dn dn
D'ailleurs, h est la valeur de :
dR
do
Is
pour p = : c'est donc bien une constante.
35G THÉORIE DU rOTESTIEL yEWTOSlEy
184. llevcnons au cas général et appelons <î> une fonction quelconque définie sur S.
De nombreuses analogies portent à penser que la fonction 4> est toujours développable en série procédant suivant les fonctions fondamentales.
On aurait alors :
les A, étant des constantes.
SI Ton admet la possibilité du développement, le calcul descoelKcIents Ai est facile.
Multiplions en effet les deux membres de l'égalité (1) par :
dT;
do)
dn et Intégrons. On a :
J{?>) du
/• dT;
/ Ti ' d(t) = — 1.
J<) dn
D'où :
Ai = — / <I>— i-^ dw.
»/;S) dn
On sait donc l'ormer la série il).
Soit W la somme de la série* (1) on dos points non situés sur S. On voit que W est une fonction harmonique tant à rintérieur qu'à l'extériour do S, car W est le potentiel d'une simple couche. Do phis, W se réduit à <I> sur S. Donc W est la fonction qui résout 1<* problème do Dirichlot tant intérieur ([u'oxtériour.
185. Application à la méthode de Neumann. — Revenons à la détorminalion d'une double couche dont le potentiel W vérifie la relation :
en tout point de S.
EXTE\<IOy ÙE LA METHODE ImE vrîJtfJ Y.V 5S7
On peut écrire, en «apprîma!:it !•?> î&dicr* p<iar abréger récriture :
W=ViT
On a :
.JT ^ dT
D'autre part :
àik Azi
JT
puisque :
dii ^^ dxi
d\V dW
dn *\'..
D'où :
Mais la relatiun 1 di^nn^ :
Comparons \ k\ 1 -.
Cette équation \»*:\iu«-\. A*- ralrul^rr \, puI!^qu*on tonnait a. On a ^rnsuîte ?S par i;j relation l . On trouv*- :
l h— ■/ 1— h D apri?s> c»:la. \V «-1 W s»- {<r<'-s''nt^iit t<»mme des tunction» mon>-
H8 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTOyiEX
morphes de a. Le module du pôle dont le module est le plus petit est :
Il est plus grand que 1. Donc le cercle de convergence des séries, de Neumnnn est plus grand que 1. Il n'y a d'exception i\ celu que si Tune des quantités h est nulle. On a :
Donc les conclusions précédentes supposent une condition :
Cette condition est d'ailleurs équivalente à la condition :
que nous avions rencontrée dans Télude directe de la méthode de Neumann. Il est visible enfin que, pour le problème extérieur, il n'y a pas de condition semblable, h cause de la présence de h au numérateur de ^fi'. On voit en effet que, pour h, = 0, on a :
sans (ju'il soit forcé pour cela que a, soit nul.
En résumé, faisons ). = 1 dans les séries de Xeumann. Il vient:
On a ainsi la solution du problème extérieur de Dirichlet. Mais il y a une condition de possibilité. Cette condition est nécessaire pour que nos séries représentent la solution, c'est-à-dire pour que celle-ci puisse être regardée comme un potentiel de double couche. Faisons maintenant a = — 1. On trouve :
W'=yahT.
On il (lo la sorte h» solution du problème intérieur do Dirichlet.
f^.\TEysioy DE LA MÉTHODE DE yEt'M.W.S Vuj
Mais cette lois, il n'y a pas de c()iuliti<»n de possihililr. Ka solution est toujours assimilable à un potentiel de double eouelir.
186. Application à un problème analogue à celui deDirichlet. Reprenons les notations :
dont nous nous sommes déjà servi.
(Iherehons à construire une fonction jouissant des propriétés
suivantes :
dV dV . /dV dV \ , .,, (in lin \ dn un /
^ étant une fonction donnée sur S.
Posons :
W -^VaNV;
av \^. .IV
(lu ^^ (lu (IV \^. <1V
dn 4M^ ' dn
On voit ([ue les (onctions \\ , sont di-s pot<;nti('ls dr siniplrs couches dont les densités sont clonné^-s par 1rs écpialions suivantes :
(In du
dn i\\\ dn ' dn
y^y THEORIE DC POTESTIEL yEWrOMEy
d\\ dv; dVi, dv;,
dn dn dn dn
Oo peut donc former les séries i .
Cela po>ê, la convergence des séries (1 ■ peut être étudiée par des pn»cédès tout à fait semblables à ceux que nous avons emplovês à pro|His du prt>blême de Neumann. Les conclusions sont les mêmes. On voit donc que. pourvu que le domaine envisagt^ soit simplement connexe, on peut résoudre le nouveau problème que nous venons de poser.
Pour À = ir i , on retombe sur le problème étudié au paragraphe 175. Dans le cas du problème intérieur, il y a une condition de pt^ssibilité.
Mais dans le cas du problème extérieur, il nx a plus aucune condition de possibilité.
187. Voyons le rôle joué ici par les fonctions fondamentales. Tout |>*>rte à penser qu'une fonction arbitraire 4> peut être développée en série de la forme suivante :
4>=Va
dT.
Si l\ui admet la possibilité de ce développement, il est facile de ralenler les ooellicients A,. On a :
% > du
l>\>ii
co.
Par suite :
, S * < dn
* s lin
A. :^ — / iM.dc».
KXTENSrOy DE LA MÉTHODE DE NEC MANN 36i
Appliquons ce résultat à notre problème.
Posons :
r» clT'
et prenons
\V =y fiT.
On a :
(lu ~2.' (lu
et :
dV Y dT Y dT'
La relation qui doit i^tre vérificc sur S donne alors :
l*ar suite :
Mais on a :
l + h+).(l — h) jLà^ ' (l f-h,"-»
On conclut de là :
