POTENTIEL NEWTONIEN D'UNE CIRCONFERENCE

ou enfin : "r.'*

2 r. V^a-^ cos^ W + (a'^ — p*) sin* ^

On peut donc poser, en se souvenant de la définition de la fonction rsf :

Or, on a vu que :

V = »(MA, MB) = ;p (a — p, a + p).

Donc :

Remarquons que a est la moyenne arithmétique des deux quantités a — p et a + p et que v^a* — p'* en est la moyenne géométrique ; on peut donc écrire en général :

? (»» 1^) = ? («i» ^) = ? (a*» b,) = . . . etc. en posant :

a, = — ^1 — , l), = V^ib,

etc.

C'est là une propriété fondamentale de la fonction '^.

Remarquons que la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique. Or, supposons a>b, ce qui est toujours possible, puisqu'on peut intervertir ces deux quantités sans changer la valeur de '^ ; nous aurons :

a — b> a, — bj> a^ — b,> etc. ;

.1o THÉORIE DU POTESTIEL ^EWTOSIEX

il vient :

Les deux autres formules 1 1 nous donnent de même : jt.-j;^d.=j^L.— do,-/— -^dT,

j ^' 1?- •^^ = j ''^ ' -ÔT •^'" - / -^ -dT **"•

Ajoutons membre à membre ces trois dernières relations

OV iU\ , i^V iU', , 1^' (U-, ,

Ox Ox Ov Ov Oz dz

Si Ton pose pour abréger :

OV r, ^\ i>V dV

Ox Ov * Oz dn Ox Ox (^v Ov Oz Oz ^Lj Ox Ox *'

on aura :

/u.AVd.==:/'u.-^do,-rvi^^d..

J * c' dn J j^ Ox Ox

formule bien connue sous le nom de formule de (treen.

On la met souvent sous une forme plus symétrique; on a, en eflacant les indices :

ry4^^id.^rL:-f.do,-fiAVd.;

J j^ Ox Ox J dn j

mais, en vertu de la symétrie des termes sous le signe | dans le premier membre, on a également :

/• y ^ iH d, =^ /V 4L d,, fvAUd..

J ^J Ox Ox J dn J

FORMULE DE GREE?i 4i

Retranchons membre à membre ces deux dernières relations :

/;fM--v.u;a.=/(u^-v^)d..

Les fonctions U et V doivent être finies, continues et admettre des dérivées premières continues et également finies. Elles doivent avoir, en outre, des dérivées secondes finies et intégrables ; les discontinuités de ces dérivées, s'il y en a, doivent se trouver sur une surface algébrique.

Les théorèmes sont encore vrais pour des aires planes limitées par des contours fermés. On les exprime de même, en remplaçant les éléments de volume d*: par des éléments de surface et les éléments de surface dw par des éléments du contour envisagé ; les intégrales triples deviennent doubles ; les doubles deviennent simples.

20. — Replaçons-nous dans l'espace à trois dimensions et faisons U = l dans la formule de Green ; elle deviendra :

/^^'^^=/inr^-

Faisons maintenant U=V, au lieu de U = l ; la formule de Green donnera :

Si, en outre, U satisfait à Téquation de Laplace AU = 0, on obtiendra finalement :

î-^^-iim-'

ce qui nous montre que l'intégrale / U dw est positive. Ces

J du

formules seront utilisées dans la suite.

Tous les théorèmes que nous venons de démontrer s'appliquent à des volumes connexes, quel que soit leur ordre de con-

ffl

Je suppose Torigine des coordonnées extérieure à ces masses ; on peut donc tracer, autour de l'origine prise comme centre, une sphère ^ tout entière extérieure aux niasses agissantes. Nous nous proposons de démontrer la proposition suivante :

En tout point situé à Vintérieur de la sphère S, la fonction V est (léi*eloppalfle en série de polynômes homogènes en .r, //, :;.

Cette démonstration repose sur le développement de l'expression

V^l — 2 p cos Y -|- p-

suivant les puissances croissantes de p. Commençons donc par effectuer ce développement.

11 sera de la forme :

fl A=rVp.n^

Or, on a :

1— 2pcosY+p^^;i — pe'r;;i — p. ^, d'où :

A = , 1 — pe'7 ï 1 — oe- '^1 *

De plus on a, si | p | est inférieur à 1 :

Tous les coellicients de ce dévelopj)ement sont réels et positifs. On a en outre :

; l — oe''; - = H---T- oe'r-4- -I .. , . . ■- .o"'t