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(À's développements résultent du développement (2), car, si Ip | est égal à 1, ] pe'" | est aussi égal à 1. De plus, ces trois séries
POLYNOMES DE LEGESDRE
sont absolument convergentes ; on peut multiplier les deux dernières membre h membre et écrire
(1 — 2 p cos y + f) * =yapa„e'r^°-PJ p"^
fi
en posant
Comparons les formules (1) et (3) ; ou en tire :
Pn.p=^anV'^^"-P^-
le signe S portant sur Tensemble des termes pour lesquels la somme n + p a la même valeur.
Les a étant réels et positifs, le maximum de P„+p a lieu pour V = ; on en conclut :
P I ^ Vaa .
Or faisons v = dans l'expression de A ; il vient :
On a donc :
Vanap= 1,
le signe S portant comme plus haut sur Tensemble des termes tels que n + p = C**. Bref on a :
Tégalitc ayant lieu pour y = 0.
Cela posé, supposons p > 0; la série
yj-.-^-'
THÉORIE DV POTESTIEL XEM'TOMEX
est convergente pour | ? | < |. Calculons Terreup commise qiisind on arnHe le développement au (n -P- 1)* terme ; posons :
A = P„+P,o 4- P,?^+ H- Po?'+Ra;
Terreur cherchée est moindre que |RnI ; or :
c'est-à-dire :
I.es coelHcients P sont des polynômes entiers en cosy; leur degré est égal à leur indice ; P„ est de degré n. Ces polynômes sont connus sous le nom de polynômes de Legendre,
Les polynômes de Legendre sont alternativement pairs et impairs en cosy- Pour le voir, il suHit de changer, dans A, yen r + t: et p en — p ; A ne change pas et, par suite, un terme
quelconque Pnp" de la série reste le même; donc Pq ne doit pas changer de signe et, par conséquent, doit être pair, si n est pair; il doit, au contraire, changer de signe, et par suite, être impair en cos Y> si n est impair.
23. Développement du potentiel newtonien en série de polynômes sphériques. — Les considérations qui précèdent vont trouver leur application dans Tétude du potentiel newtonien.
DÉVELOPPEMEST ES SERIE DE POLYNOMES SPHÈRIQUES .»;
Soit T un volume attirant et Toriglne des coordonnées, supposée extérieure à ce volume ; on peut tracer une sphère ayant le point O pour centre et tout entière extérieure à T (fig. li)i.
Soient, en outre, P un point attirant quelconque du volume T et M un point situé ii Tinlérieur de la sphère. Appelons x, y, z les coordonnées rectilignes et p,Ô,f les coordonnées polaires de M ; x', y', z et p', H\ ^' les coordonnées rectilignes et les coordonnées polaires de P ; enfin r la distance MP et v Tangle MOP. On a les relations suivantes :
Z ^ =-- p ^ — 1 pp COS V
