INTEGRALES CONVERGENTES ET SEMI-CONVERGENTES
Appelons t le rayon de C, p celui de C et passons en coordonnées polaires ; on a :
J^. = f'cos 6de r^ = fsin 2 7: — sin 0) log -^ = 0.
Ainsi Je/ est constamment nulle. Sa limite est 0, quand £ tend vers zéro. L'intégrale X est donc convergente.
Montrons qu'elle est semi-convergente, c'est-a-dire que l'intégrale
ne converge pas.
Cette intégrale, étendue à tout le cercle, est égale au double de l'intégrale
étendue au demi-cercle BCAB.
Calculons donc celle-ci ; si elle a. un sens, elle est la limite de la portion correspondante de J^/ relative à la demi-couronne BCAEFDB. Or, celle-ci est égale à :
r-d (sin s; f-^ = 2 log -^ ,
quantité qui augmente indéfiniment quand s tend vers zéro. L'intégrale X est donc semi-convergente. On peut démontrer de plus : étant convergente, elle a une limite quand on entoure le point O d'une courbe C, puis qu'on calcule l'intégrale relative à l'espace compris entre les deux courbes, et enfin qu'on fait évanouir C au point O ; mais, étant semi-convergente, sa limite dépend de la courbe C et de la succession des formes que prend cette courbe avant de s'évanouir au point O.
C'est ce que je vais montrer.
Supposons d'abord que C soit une circonférence concentrique à C; la raison de symétrie, comme aussi le calcul fait précédemment, montrent que l'attraction de la couronne au point O est nulle. Etant nulle constamment, elle définit une limite nulle, quand C vient s'évanouir au point O.
-1 THÉORIE DU POTESTIEL SEWTOXIEX
Par un autre procédé, uu roiitrairp, on peut définir une limite tliflV-r<-i)lc de zit». Dans les ratsonHenieiits qui vont suivre, nous nous appuierons sur !c lemme suivant :
t.EMME. — Deii.r surfturx iillira.
dt'H.r points i
c.rcrfcnl (a niéitie ullrnilion
loi/iéiitjitea S el S', telles ii-reupondantit xoienl égales.
fiilre d'hoDiothèlic.
Ce lenime est presque évident ; soient, en effet, deux éléments correspoudunts ', lig. 'ÎG dto et diu', r et r' leurs distances respectives au point O ; leurs attractions au point O
, ;x'd,., p„urdw:^-i—
pour
u'dw'
Os deux attractions dirigées suivant la uiémedruitc sont I>icn égales, puisnu'en vertu de riiomotlictie, on
Cela posé, reprenons iiolrc cercle (1 et prenons comme courbe auxiliaire une autre eirconfé renée (" ilig. 27). non concentrique il (^', ayant son centre en un point O' voisin <]e 0. Menons la ligne des centres CXV ; cette druile coupe nos deux eîrconférences aux
lits A, 1) pour la première et A'. B' pour la
■nde.
Sup]>osoiis que, des denx points A' el li', le plus rapproché de O soit A': déeri vons alors, dn point <) eoinnie centre iivcc OA' comme ravon, une circoii l'ère me (!,.
Appelons p, ^', p, les rayons des circonférences C, C et C„ puis traçons une circouléreuce C^ tangente en A :i la proposée C et telle que son rayon p„ satisfasse ii la relati<Mi
l.\TÉGRALES CO.IVEBGEIVTES £7 SEim-CO,\'VERGEyTES 7I
Alors les deux cercles C(, et C sont h«mothclit[ues par rapport
au point et le rapport d'homothétie est — . D'autre part les
deux cercles C et ( ,, otjnt concentriques, ont aussi pour centre d'homothctiL le point et même rapport d'homothétie que les deux prcct-dents en ^e^tu de la relation (t). H en résulte (|ue les
deux portions de plan couvertes de hachures, l'une comprise ciitie les circonférences C^, el(ô l'autre entre les circonférences (7 et (',, sont homothétiques par rapport nu point U. Si donc ou suppose la première couverte de muliére attirante avec une densité égale a 1 comme celle qui recouvre le cercle (I, son attraction im point ()
3 que
■elle de la seconde.
Nous exprînierons cette propriété par l'égalité
désignant en général par C„ — C„ la portion de plan comprise entre les courbes C„ et C„, el par A, __, l'attraction que cotte portion de plan exerce au point 0.
Cela pose, ce que nous voulons calculer, c'est la limite vers laquelle tend A^.^, quand le cercle C vient s'évanouir an point (I.
Or, on a évidemment :
TBÉoitiË ùv l'oTE.wjEL .veirro.vjjTi»
ce qui se léiliiil a :
puisque .\,, est nulle, piii relatiniis (2] et (It), nous ;iui
If
il |. [ton
luir le ecrcle C au point de manière que ] oiislaiit, les ik'iix termes de ce rapport ten-
dant vers zéro. Kn vertu de la relsition (l), le rapport -J — reste aussi coiistaut et, par coiiséqueut. le eerele V.g reste iovariiible ; il en résulte que A, „ reste fixe.
Ainsi, l'intégrale qu'il s'agit d'étudier, A, ,.,reste constanimeiil ^gulc à une quantité fixe — A,__,; on peut donc écrire :
lit
Montrons nmintoii évident.
nulle. Cela est presque
Figurons à part (Gg. 27 Itis) les deux circoulerenees C, et C; traçons la droite MN perpendiculaire en à la ligne des centres. Knfin, décrivons une troisième circonférence G, égale à C, et tangente intérieurement en B ii la circonférence C; cette circonférence passe évidemment par les points M et N. L'aire atti-
ISTÉGRALES COyVERGEyTES ET S E MIC O S V E RG E ST E S ;>
rante C,, — C est ainsi divisée en deux parties : Tune comprise entre les trois circonférences C, Q et C, ; l'autre comprise entre C,etCo ; elle est représentée, dans la figure, couverte de hachures. La première partie a manifestement une action nulle au point O par raison de symétrie ; quant à la seconde, son action est dirigée suivant la ligne des centres et ne peut être nulle, car tous ses éléments, étant situés d'un même coté de MX, les projections sur AB de leurs actions en O sont toutes de même signe.
Kn résumé, A, ^ est différente de zéro et, par conséquent, on a :
lini A,,.=^().
On voit donc que, suivant la courbe auxiliaire choisie pour définir l'attraction au point O et suivant la succession de formes par lesquelles on fait passer cette courbe, on peut obtenir pour l'attraction une limite nulle ou une limite différente de zéro. Celte circonstance caractérise les intégrales semi-convergentes.
Des considérations analogues pourraient être faites au sujet d'une surface quelconque. On verrait, de la même façon, que les composantes de l'attraction, en un point d'une surface attirante, sont données par des intégrales semi-convergentes.
Au contraire, le potentiel d'une surface attirante, que nous allons étudier maintenant, va nous fournir un exemple d'intégnde absolument convergente.
33. Autre exemple. — Potentiel d'une surface attirante quelconque en un point de cette surface. — Soit S une surface attirante ; son potentiel en un point M est donné par Tintégralc :
;x', r, dw' étant les notations connues.
Supposons que le point M soit pris sur la surface S elle-même : nous allons montrer que l'intégrale précédente garde un sens et est absolument convergente, si la densité |jl' reste finie en tout point et si la surface S admet, en M, un plan tangent uni<|ue.
Menons ce plan tangent (fig. 28); prenons-le pour plan des xy et prenons le point M pour origine; soient P le centre de gravit»'*
7i: j:î jz .»:rr.*rr£i .^zvroyiEy
j: iu rt S- ? îa i r-^-^ti-a *«r 1^ plan des xv, z T-iL i-.r< > :"ai. --fcZ.X'f-- ^3 P- «p-nfin s., v', 2' les
S ucr oHi?l-^ il «entourant le piiliit M « v*»url-i?> il l^aitju^ S en deux zones,
V'.éi. ^>.
S #-l Sj. ];i |iifiiiit'if. S., ^-tiiiit cello qui comprend le point M. Appf'loits V. <-t V, Ifs piittMitit'Is respectils de S^ et S, : on a :
\. ;i un s*-iir» :iii jniiiii M: il suflîl d i'tudier \\: cette intégrale a jioiir '-xpri'-^ioii :
•JL lU'>
«•Il \«Tfii t\t: 2 . i»ii j>fut 1 t'crire :
dx cl
(.«•ll<' JiTni<'i'«r inti'fri'jiU' i»st étendue ii une aire plane, h la portion du |ihiii des xy eoniprise à l'intérieur de (! .
Or, on peut rlioisir la calotte S^ assez petite pour, quVn chacun dr m-h point», on ail :
eos '^
ISTÉGRALES COyVERGEyTES ET SEMI-CO^VERGESTES 77
a désignant un nombre fixe; cela est possible, car, au point M, cos ^ est égal à 1.
Ecrivons alors la fonction sous le siffne / , , de la
^ J rcos '^
manière suivante
' cos '^ r m
en posant
m = ul'
^ cos '^ r
et
r'=MP'.
L'intégrale devient alors :
3} V. = r-Î^dx'dy';
m' peut être considéré comme une fonction de x', y ^ puisqu'il chaque point P et, par suite, a chaque point P', est attachée une valeur de m' ; de plus, cette fonction est essentiellement limitée,
car elle est égale au produit de trois autres qui sont limitées :
•ji' Test, par hypothèse, et , par construction, enfin — est
* ^ • * cos C5 r
inférieur à 1. L'intégrale (3) est alors le potentiel en M d'une portion du plan des xy, celle que limite (!', sur laquelle la densité de la matière attirante est la fonction m'. Nous avons vu (29) qu'une pareille intégrale est absolument convergente. Le théorème général est donc démontré.
Dans ce qui précède, nous avons supposé, pour plus de simplicité, que la surface S était pourvue d'un plan tangent bien déterminé en chacun des points qui avoisinent le point M. Cette hypothèse n'est pas toujours indispensable.
Prenons, en effet, le cas d'un cône circulaire droit. Supposons que M soit le sommet de ce cône. Prenons pour plan des xy le plan perpendiculaire à l'axe du cône et effectuons les mêmes
transformations que ci-dessus. On a encore facilement une limite
supérieure de |m'|. En effet, a' est une quantité finie ; — est le
:« Tin: ont E du potestiel sewtosien
cosinus de ranj^lc cruno {génératrice du cône avec sa projection ;
reste écal il l'inverse du cosinus de l'angrlc d'un plan tan-
cos 5 " n r
gent au cône avec le plan xy. On peut donc refaire ici le raisonnement indi(]ué plus haut.
La conclusion subsiste encore si le point M est un point sinf^ulier de la surface S, lorscpie le cône des tangentes en ce point est, par exemple, un cône réel du second ordre, ou lorsque ce cône SI» réduit il un système de deux plans réels distincts. Cela se voit, comme dans le cas du cône circulaire droit.
34. Analogie avec les séries. — Avant de poursuivre Tapplicatioii des princij)es précédents ii Tétude du potentiel, faisons une remarque.
La théorit* des intégrales convergentes doit être rapprochée de celle des séries. Les dénominations de vom>eriicntc^ absolument ron\'cr^cnf(*y .si*nii'iofiV(*ri:^(*rif(\ se définissent pareillement dans les deux théories et les propriétés correspondantes sont comparables. Les deux théorèmes suivants mettent en évidence cette analogie étroite :
l" Quand une série est absolument convergente, on peut modifier l'ordre des termes sans en changer la somme;
2" ()uan(l une intégrale est absolument convergente, on peut choisir arbitrairement la courbe ou la surface évanouissante qui entoure le point de discontinuité et la faire passer par une succession (|nelcon([ue de formes. On peut aussi intervertir Tordre des intéirrations.
Ci*. derniiM' point se démontre sans difficulté. Soit, par exemple, linté^ialc double
J 1^^ I f X, y dx dy,
étendue il une aire plane S limitée par une courbe C ; supposons <|ur la l'onction f devienne infinie en un point M du champ d'intégration trt, ([u'en tout point de Taire, on ait :
1 ^yy
< — , avec a<i, r'*
M étant un nombre positif fixe ; l'intégrale est alors absolument conv(^rgentc.
AyALOGIE AVEC LES SÉRIES
Entourons le point M d'un cercle 2 de rayon p, ayant ce point pour centre. Le champ d'intégration est ainsi partagé en deux parties, S^, et Sp S^ étant la portion du champ comprise à l'intérieur de I. Appelons J^ et J^ les valeurs de l'intégrale cidessus, quand on prend respectivement pour champs d'intégration Sp et S,.
On a :
Pour Jj, ou peut intervertir Tordre des intégrations, puisque la fonction reste finie dans le domaine S^ Voyons ce qui se passe pour l^j on a :
et, par suite.
2 7rMo«-«
«n prenant p assez petit, ou peut rendre [ Jy| inférieur à un nombre -^ donné à l'avance. Intervertissons Tordre des intégrations; J et J^ deviennent J' et J'^, et, puisque J, ne change pas, on a :
mais on a :
et
-donc :
<?l, par conséquent,
■quel que soit e. Comme J — J' est bien déterminé et ne dépend pas de p, on a nécessairement
4!e qui démontre qu'on peut intervertir Tordre des intégrations. Cette remarque permet de démontrer facilement un théorème
8u THEORIE DV POTENTIEL SEWTOSIEfI
rclnlil iiu poteiitîd ; soît T un volume attirant, M un point intérieur, ^' le potentiel en M, et X une des oompiisiintes <le l'attraetion en <'e point. V et X sont donnés par les intégrales suivimtes :
v=rJ^a-
(les ÎTitégrules sont iibsnlumonl cunvergcntes (30)- (lonsïdtViuiis l'intégrale .[niidruple :
x„ et Xj désignani les viilcurs de x en deux points M,, et M,. Otte îiitêffiule est iibsoluinent e<nivorgente. Je inc propose de démontrer la relation suivante :
;i f'Xdx^V, — \„.
V, et V„ élaiil les viilenis du poliiiliel en M, et M„. Cette relation «erail êvid<Mite. si l'on avait démontré (jue X = -^; cette (lénionstralion sera laili- plus loin dans le cas — f[ui est le eas aetnel— oii le jininl M est inlérienr aux masses agissantes. Pour l'iiistaiil. démontrons direel<-nn-nt la relation ;i;:. L'intégrulr s'éeril ;
Uiv Ii'lh.''..i'i'i
35. Potentiel newtonien d'un volume attirant. Existence des dérivées premières- — Soit T un volume atliiaiit, M un point inté-
