VV (W D-V

T-Tf T-r»^ T^i du potentiel newtonien en un i)oint distinct des Ox- Ov Oz"

points attirants.

^aVn/"-^^ -\

Ox^ ' /j r* Zj r^

«V-^V .,\ri ih — V- \^ m

O'V ,)\^ (c — zV- Y^ m

Oz^ ^^ r* ^^ r*^

Ajoutons ces trois relations membre k membre et appelons, suivant la notation connue, AV la somme des trois dérivées secondes que nous venons de calculer ; il vient :

Le potentiel ne\vtonicn satisfait donc, dans l'espace à trois dimensions y à ràfjnation de Laplace AV= en tout point distinct des points attirants.

Pareillement, le potentiel logarithmit/ue satisfait, dans le /)lan,

à r équation de Laplace-^— -^ ~^ S".r^^^ ^^ V^' ''^" écrit encore AV =0. On a en effet pour ce potentiel :

Ox* Z J r* Zj r'

;^=2y„,iJirLy)i y

dy» Zj

yi m

ÉQUATION DE LAPLACE '5 f

Ajoutons membre à membre en remarquant que

(a — X)» + (b — jf = r\ nous aurons :

On peut, (le même, définir, dans l'espace à n dimensions, un potentiel analogue au potentiel newtonien dans l'espace à trois dimensions et au potentiel logarithmique dans le plan. Appelons XpX,,...x„ les coordonnées d*un point de Tespace à n dimensions ; le potentiel en question sera une fonction V de n variables satisfaisant h Téquation :

^\^' ' Ox,* dx„^

qui est la généralisation de Téquation de Laplace. Le potentiel

ainsi obtenu correspond à une attraction proportionnelle à — ^^^ ;

r désigne toujours la distance du point attiré (x,, x,,..., x„) à un point attirant (a^,a,,..., a^) et est donné par Tcxpression :

5. Limites supérieures des dérivées de — . — Avant d'aller plus loin, nous allons indiquer des limites supérieures pour quelquesunes des dérivées de — . Ces limites supérieures nous seront utiles dans la suite. On a :

dx r

Kl)

dx* i' r'

Ail— IX (»— x)' n a — X ox' r' r'

THÉORIE DU POTEaSTIEL yEWTOSJEy

et (les formules analogues pour les dérivées en y et en z. On conclut sans peine de ces formules les inégalités suivantes :

et ainsi de suite.

6. Potentiel des corps continus. — Jus(|u'ici nous n'avons considéré que des points attirants discrets. Considérons maintenant des distributions continues de niasses attirantes ; il v en a de trois sortes : volumes, surfaces, lignes. Nous allons étudier leur action sur un point M (x, y,z) portant l'unité de masse et définir un potentiel. Nous envisagerons d'abord le cas où le point M est cxlcrieur aux niasses agissantes, c'est-à-dire tel qu'on puisse entourer ce point d'une surface fermée de dimensions finies ne contenant aucune des masses considérées.

l" Volumes attiranls, — Soit un tel volume ; appelons Jig. 2

dT', un élément de ce volume;