I.a troisième tend aussi vers zéro, car on a
or rintégrale du second membre a pour valeur 47r[jLip, celle du premier est donc inférieure à 127:;jl'^p; elle tend vers zéro avec p.
Bref on peut écrire :
e tendant vers zéro avec p ; comme AV et «jl ne dépendent pas de p, on a rigoureusement :
AV == — 4 îiix.
(]'est la formule de Poisson,
Remarque. — AV, considéré comme fonction de x, y, z, est continu, à rintérieur et à l'extérieur du volume, mais éprouve une discontinuité, quand on franchit la surface; il en est, de même, de chacune des dérivées secondes de V et des dérivées d'ordre supérieur.
39. Potentiel logarithmique d'une surface attirante. — Tout ce ([uo nous avons dit du potentiel newtonien d'un volume est vrai du potentiel logarithmique d'une surface attirante.
Kn un point M de la surface attirante, le potentiel logarithmique V est représenté par l'intégrale double :
et Tune dos composantes X de l'attraction par :
On démontre sans peine que ces intégrales sont absolument convergentes et que l'on a :
OX
L'équation de Poisson devient
AV = — 2 TCjjL.
Tout cela peut se démontrer directement; mais on peut le considérer comme une conséquence des propriétés du potentiel newtonien : on a démontré, en effet (15), que le potentiel logarithmique d'une surface plane est le même que le potentiel newtonien d'un certain cylindre ayant cette surface pour section droite. La matière attirante qui remplit ce cylindre a une densité cons-
tante et égale à-;r- jjl', tout le long d'une même génératrice, (x^dési-
gnant la densité superficielle de la section droite dont on étudie le potentiel logarithmique, au point où elle est rencontrée par la génératrice considérée.
CHAIMTHK 111
sritKACrS AT'irRA.VTFS KT T.IIJNKS ATTIRAXTliS
40. Notations et remarques prëlîminaires. — l'tiint ilutmês u surface attirante S et un pniiit M sur cette surl'ace, nous avons j vu (33) que le potentiel en ce point est représenlé par une intégrale absolument convergente, elles cumposiuitcs <te l'attraction par des intégrales semi-convergentes 32 -
Nous allons voir maintenant ce <jui se pusse quand le point M est extérieur à la surrace, mais très voisin d'elle, et qu'il tend vers un point donné M, de cette surface en suivant la droite MM'
établissons d'abord la notation que nous emploierons dans toute cette étude.
l'renons le point M^ comme origine des coordonnées; supposons qu'en ce point lu surface admette un plan tangent unique et prenons ce plan comme plan des xy. Pour abréger les calculs, nous supposerons, en outre, que la surface est régulière en M,. c'est-ii-dire qu'au voisinage de ce point, l'une des coordonnées d'un point de la surface est l'onction analytique des deux autres. V.n réulité, cette hyputbèsc est inutile et nos démonstrations subsistenmt, en supposant i[aitii piiint M,, la surfine ponnède un plttH tancent iinii/tic et rfeu.f rayonn de vonrbiirv bien déterminés.
Nous désignerons par dw' un élément de la surface, par P son centre de gravité, par P' la projection de P sur le plan des xy; oniïn par x, y, t. les coordonnées du point M et par x', y', z' celles du point P. Los coordonnées de P étant x', y', z', celles de P' sont x', v', — et l'on a PP' = z'.
SURFACES ATTIRANTES cjJ
z' est une fonction de x', y'; appelons-la f (x', y'). I/équation
7/ = f(x\yO,
est Téquatlon de la surface.
D'après notre hypothèse, z' est développable, au voisinage de M^, eu série ordonnée suivant les puissances croissantes de x\ y'
Fig. 33.
et le développement commence par des termes du second degré, puisque le plan des xy est tangent en M^; il est donc de la forme :
z' = ax'^ + hx'y' + cy - +
Dans nos démonstrations, nous ne ferons usage que des termes du second degré; c'est ce qui fait qu'elles seront encore vraies, en supposant seulement Texistence d'un plan tangent unique et de rayons de courbure principaux bien déterminés.
c)«> THÉORIE DU POTESTIEL SEn'TOMEN
expression qui reste toujours finie. Le rapport — |- et, par suite,
r le rapport — ^ restent finis. On peut donc assigner à ce dernier une limite supérieure A et écrire :
D'une manière analogue, on démontre que les deux rapports
-7- et — restent finis. On peut, par conséquent, trouver deux
nombres positifs B et C tels que :
-V<C et — <B.
2" Considérons maintenant le rapport
(]e rapport est fini, tant que r estdifTérent de zéro; je vais faire voir qu'il en est de même quand r s'annule.
Quand z est infiniment petit, sa partie principale est de la forme :
ax + bx V -f- cz ■,
comme nous Tavons vu précédemment.
La partie principale de — ^ est donc :
ax " + nx y + cy ■
qu'on peut écrire :
Sous cette forme, on voit <jue ce rapport reste toujours fini Nous ap[)ellerons 1) une limite supérieure de ce rapport. Abordons maintenant l'étude du potentiel de S.
SURFACES ATTIRAyTES 97
42. Etude du potentiel. — Appelons V et V^ les potentiels en M et Mq de la surface entière S; V et \q de la calotte S^ ; V et V'o ceux de la portion restante S,. On sait que V^, est exprimé par une intégrale absolument convergente ÇX^) . Nous allons démontrer que Ton a :
lini V = Y,„
quand M tend vers My On a, en effet,
d'où :
Considérons V et V^; ces quantités sont données par les intégrales
que Ton peut écrire :
r u'dx'dv' ,, , r ;/dx'dv'
J r cos o J r,, cos '^
Choisissons la courbe C de manière que sa projection iSJ sur le plan des xy soit une circonférence, ayant pour centre M^ et un rayon égal à p.
Les intégrales V^' et V sont étendues à Taire de ce cercle.
On a, en vertu des hypothèses et des remarques faites 40 et 41 1 :
dx'dy' r . dx'dy' r Aydx dy'
r dx'dy' r , dx'dy' /
Toutes ces intégrales sont étendues au cercle de rayon p. On peut alors écrire :
car on voit facilement, en partageant le cercle en anneaux con-
/*? dx'dv' centriqueSy que l'intégrale du second membre / r-^— a pour
valeur 2irp.
PoiXGARi. Potent. Newt.
ifS THÉORIE DU POTENTIEL SEWTOyiEN
Bref, on a rinégalité :
V'<2T:Avp.
De même, on démontre que :
On a, par conséquent, Tinégallté :
|V'-V;|<2«(A+l)vp,
et Ton peut rendre p assez petit pour que Ton ait :
£ étant un nombre choisi à Tavance.
Considérons maintenant V et Vi' potentiels, en M et M, de la portion restante S^ de la surface ; p étant fixé par l'inégalité précédente, rapprochons le point M du point M^ assez pour que Ton
ait :
V"— vy
cela est possible, puisque V" est une fonction qui reste continue, quand on franchit la surface au point M^.
Mais, d'autre part, on a :
V — V, = V-Vi + V' — Vi';
on a, par suite,
|v-vj<|V'-v;
|V"-Vi'|<e;
ainsi, on peut rendre la différence V — V^ aussi petite qu'on le veut, en rapprochant suffisamment M de M^; par définition, on a donc
limV = V„
quand M tend vers M^.
Remarque. — D'après la démonstration précédente, on voit que le potentiel V, continu en tout point de l'espace extérieuri reste continu quand on franchit la surface attirante.
Ce potentiel V est une fonction de la forme
fV,y')dx'dv'
et, ce qui a joué le rôle essentiel dans la démonstration, c'est qu^on a pu assigner une limite supérieure a la fonction f.
On peut donc dire, qu'en général, toute fonction de la forme (1) est continue dans tout l'espace si Ton peut assigner une
limite supérieure a la fonction f qui figure sous le signe | , et
cela est vrai, même si cette fonction dépend, non seulement de x',y', mais encore de x, y, z.
43. Préparation à l'étude des composantes de l'attraction. — l'établissons le lemme suivant :
Lemme. — Soit l'intégrale simple :
où X désigne la variable d'intégration et z un paramètre. C'est
une fonction de z.
Faisons les hypothèses suivantes :
1® L'intégrale
/•z dx
reste finie et tend vers une limite finie, quand /augmente indéfiniment.
2** »(x) reste constamment positive quand x. varie de à x .
3^ La fonction f(x,z) admet une limite supérieure A, de telle sorte que l'on a :
4® Enfin l'on a :
lîm f x, z' =1, .
quand z tend vers zéro, quel que soit x, même s'il varie, pourvu qu'il reste fini; en d'autres termes, f(x, z) tend uniformément vers 1, quand z tend vers zéro, pourvu que x reste compris entre et une limite supérieure fixe L.
i<X) THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
Je dis alors que, si l'on fait tendre z vers zéro et augmenter / indéfiniment, on a :
lim J
Pour démontrer ce lemme, posons :
En vertu de la première hypothèse, l'intégrale a un sens quand p est infini et Ton peut écrire :
lim,=.9(p) = e(x).
On sait d'autre part que, si F(x) et 0(x) désignent deux fonctions de X continues dans un intervalle a, b, le théorème de la moyenne donne :
rF(x)^(x) dx = V (Ç; /%(x)d
X avec a < Ç < 1),
pourvu que ^ garde un signe constant dans Tintervalle a,b.
Appliquons cela à l'intégrale J(z) en remarquant qu'on peut l'écrire :
on aura :
ou bien :
(i) j(x; = r.,i,z:ov + rx,z;[e:/;-6(p)],
avec les inégalités :
()<i<p cl o<Ç'</.
Transformons la relation '1\ on a :
j(z;=fvi,z;ofx;+ivî,z)[e(p)-6(x)]
SURFACES ATTIRANTES loi
OU encore
j» = f(5,z;o(«)+[f(ç,2)-f($',z)][e(p)-e(oc)]
On a, en outre, les inégalités suivantes :
on peut donc poser :
t et £, étant des fonctions de Ç et $', restant toujours comprises entre — 1 et + 1.
Posons encore :
f(i,z:6(oo) = e(oo) + B.
B tend uniformément vers zéro quand, ^ restant fini, z tend vers zéro, car, dans ce cas, Lim f($j, z)=l.
L'expression de J (z) devient alors :
J : z; = 6 (X } + B + 2 s. A [H (?) - 8 (« )] + sA [8 (7.) - e (x )], d'où :
:2:J(z>-e.:x) = B + 2s.A[e(o)-9(x)] + 3A[e(7)-6:x)]. Or, nous voulons démontrer que :
limJ(z)==/ -i!iL=e(oo),
ou, en d'autres termes, que le premier membre de la relation (2) tend vers zéro, ou, si l'on veut, que l'on peut prendre / assez grand et z assez petit pour rendre [J (z) — S(^)| inférieur à un nombre donné r,, aussi petit que l'on voudra.
Cette démonstration se fait facilement à l'aide de la relation (2) ; on a :
Le second membre de cette inégalité se compose de trois termes.
I02 THÉORIE DU POTENTIEL yEnTOyiEN
Ou peut prendre p assez grand pour que le deuxième terme 2 A |0 (p' — ^'x ;| soit inférieur à -:;•
On peut de même prendre x assez grand pour que le troi-
sîème terme A|[6 x' — 'î'^.il soit, lui aussi, inférieur h-^'
p et 7. étant ainsi fixés, l et ;' restent finis, quel que soit z, et Ton peut prendre z assez petit pour que |B1 soit inférieur
à TT , puisque, ; et ^' étant finis, H tend uniformément vers zéro. p, / et z étant ainsi choisis, on a :
Le lemme annoncé est donc démontré.
44. — On peut démontrer un lemme semblable pour les intégrales doubles.
Soit rintégrale :
J V = ri^^l^dxdv.
étendue à une aire plane S limitée par un contour C qui tend à embrasser tout le plan. C'est une fonction de z.
On fait les hypothèses suivantes :
1" L'intégrale
r dxdv
garde un sens et reste finie quand on Tétend à tout le plan.
2» La fonction '^:x,y: est positive en tout point x, y du plan.
l\^ La fonction f x,y, z; reste finie et Ton peut lui assigner une limite supérieure A.
4" Cette même fonction f tend uniformément vers 1, quand i tend vers zéro, le point x, y restant à l'intérieur d'un contour fermé, aussi étendu qu'on le veut, mais fixe.
Dans ces conditions, je dis que Ton a :
Ixd^
,. , , . r dxdv
Iim J z = / : î-r-,
J ri X, VI
SURFACES ATTIRANTES loi
rintégrale du second membre étant étendue a tout le plan, lorsque la courbe C s'agrandit indéfiniment et que z tend vers zéro.
Pour démontrer ce lemme, on considère un cercle S ayant pour centre l'origine et pour rayon p ; on pose :
^^ Jm ? (x, y)
La première hypothèse montre que (oo ) a un sens et Ton peut écrire :
iim^=«>e(p)=e(x).
Cela posé, supposons le contour C assez grand pour que S con« tienne S et appelons
les valeurs de l'intégrale proposée
quand on Tétend respectivement au champ C tout entier, an cercle S, à la portion comprise entre C et S. On a évidemment -.
L'application du théorème de la moyenne à chaque membre de l'égalité (1) permet d'écrire l'égalité :
l\ Y fl V
6e désignant la valeur que prend l'intégrale / — ^ — y, quand on
prend l'intégrale / — ^ — y, quan( p la courbe C ; i,rj désignant les c
l'étend au champ limité par la courbe C ; ç,rj désignant les coordonnées d'un point situé a l'intérieur du cercle 2; Ç', r/ celles d'un point situé entre les courbes C et 21.
Le reste de la démonstration se fait comme pour le lemme précédent.
45. Composantes de l'attraction. — Les composantes dirigées suivant M^X et M^Y s'appellent composantes tangentielles ; elles
roi
THÉORIE DV POTEyTIEL XBWTOKIEX
sont cxpriinncs par des intégrales qui varient continAment (juand lo paiiit M se dcpluce et franchit 1» surface au point M,.
Lii composiinte dirigée suivant M^Z, dite componante norninle, est exprimée par une întégride se mi -convergente et •'prouve une brusque discontinuité quand on franchit la surface.
Nous allons préciser ces énoncés en commençant par l'étude do la composante normale.
46. Etude de la composante normale, nale Z esl exprimée par l'intégrale :
niposante nor-
ipu peut s é
jnt étendues à tous les éléments doi' de la surdc deux intégrales que
Ces intégr face attirante.
Z est ainsi exprimée par la diffère nous allons examiner suerossivemeut.
Remarquons tout de suite, qu'au point de vue de leurs dîscon' tinuitês, il sulltt d'étendre ces intégrales à lu calotte S,,
Plaçons-nous donc dans oo cas.
Voyons d'ahord la
Mc Z, ■^= l ' .,' dw'; transformons-la ;
l'inlégrale du second membre osl de la forme : ,M:x',v:dx'dy'
SURFACES ATTIRASTES
io5
La fonetion f reste finie puisque :
cos
ot que, par suite,
I •■('''. y') l<ïD
I/inlégrale considérée est donc (42) une fonction continue.
47. — Étudions maintenant la seconde intégrale qui entre dans l'expression de Z. Cette intégrale est :
On peut l'écrire :
JJ./3 j,8 ç^g ç
dx'dv',
ou encore, si l'on appelle ja la densité au point M,,
\[xz/
en posant
"^ ^ ^ !••» cos'^ a
Changeons de variables et posons :
y =7iZ
La fonction sous le signe | dans Z^ est ainsi transformée en une fonction de ç, y,, z.
Voyons quel est le champ d'intégration.
L'intégrale Z, était étendue, dans le système des anciennes coordonnées x', y', z, à la projection S'y sur le {)lan des xy de Taire S^. Nous pouvons toujours choisir le contour de S,, de
io6 THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIES
iiiaiiîère que S',, soit un cercle, ayant le point M^ pour centre. Soit p son rayon ; Téquation Je ce cercle est :
Par le changement de variables, l'inlégrale (1) devient : cette nouvelle intégrale étant étendue au cercle Z^ :
(^; / ^ ^dÇdr.,
lequel tend à embrasser tout le plan des ^r,, quand z tend vers zéro.
Cela posé, examinons la (onction A.
D'abord elle reste toujours finie; car on a, en vertu des inégalités démontrées au paragraphe 40 :
Je dis, de plus, que cette fonction tend vers 1 uniformément
quand, ; et •/; restant finis, z tend vers zéro.
r'^ Considérons en eflet le rapport — -^ il a pour expression en
général 3
Remplaçons, dans ce rapport, z' par son développement en fonction de x', y'; ce développement est, d'après nos hypothèses, une série entière procédant suivant les puissances croissantes de x', y' et commençant par des termes du second degré :
yj L=: ax'* -j- bx'y' + cy'- +
Le rapport ci-dessus peut donc s'écrire :
L(x' — x;^ + (y'-y)^+.ax^+bxy+cy'^+ — z)*J
Exprimons-le h Taide des nouvelles variables 5,7,, z, il deviendra :
r (a-y + (?-r,)> + l -IT
L (a — $)*+(? — r.;* + (a$*z + b$7iz + cr.'z + - 1)* J '
Quand z tend vers zéro, Ç et r^ restant finis, ce rapport tend vers :
Ainsi — r .considéré comme fonction de Ç,t. et z, tend vers 1 quand, \ etr, restant finis, z tend vers zéro ; on peut donc écrire :
= l+ep
Cj étant une fonction de 5, rj,z qui s'annule pour z = o, si Ç et */; sont finis, quelles que soient d'ailleurs leurs valeurs. Considérons maintenant l'expression :
COS Ç [JL
Nous avons supposé que — i — est développable en série procédant suivant les puissances croissantes de x'cty'; il en est donc
de même de , puisque 'jl est une constante. Le terme tout
u. cos 3 * * *
connu dans ce développement est évidemment la valeur de l'expression considérée pour x' = y' = o, c'est-à-dire pour le point M^j. Or, en ce point, on a :
[jl' = [jl et cos » = 1 ; on a donc :
COS C5 a
au point M^, et l'on peut poser, en général,
COS C5 »JL ' ^
io8 TH&OHIB nu l'OTE.\TtEL ^iEWTOSIEN
S, étant une fonction tie x', y' qui s'annul« en M,,; si nous coiisidé-l rons IVxpression i^tudiéc l'onime une fonction de ç, r,, z, on peiita encore écrire l'égalité (3\ ê, désignant une quanlité qui s'an-j nule qiinnil z s'nnnule et que S et ti restent finis, étHnt d'iiillet quelconques.
t.;> lonetioii \ prend mnsî lii l'uime :
Dans cette liirmule, =, est, cunune t^ et e,, une l'onction de I ,r,, z qui tend uniformément vers zéro, qunnd z lend vers zéro. ]
11 est dune démontré que la fonction X tend uniformément I vers 1, quand z tend vers zéro, ç et t, pouvant varier, mais restant | finis.
Dans cette démonstration, nous avons supposé que la densité jj.' \ est une fonction analytique de x',v', au voisinage de M„. Celte [ hypothèse n'est pus nécessaire; il suffit de supposer que la densité [l'est simplementcontinuepar rapport aux variables x', y'; elle ] est alors unilurmément continue par rapport â z et l'on peut 1 écrire encore la relation (il).
Reprenons maintenant l'expression 2; de '/., :
j dsdïi-
I considérons la loi
;?-v + il"î
qui entre en dénominateur bous le signe j .
Cette fonction a évidemment nn signe constant; île plus, elle est telle que l'intégrale .1,,,
eicli' ï. cléliiii plu» liaul, liiul vors i.uc liinllf J.
SURFACES ATTIRAISTES 109
quand le cercle 2^ s'étale indéfiniment et tend à embrasser tout le plan.
Nous démontrerons cette propriété tout à Theure ; admettonsla pour rinstant et tirons-en des conséquences.
L'intégrale Z, a ainsi été mise sous la forme :
Nous pouvons lui appliquer le lemme démontré au paragraphe précédent; A possède les propriétés de la fonction f et V celles de ^. Cette intégrale a donc une limite, quand z tend vers zéro et que le cercle 2,, s'étale indéfiniment, et cette limite est égale ii celle de l'intégrale J^, c'est-à-dire àJj. On peut donc écrire :
lim,=„ /-y^dïdr, = J,,
ou
lim,^oZj = J,.
Démontrons maintenant que la limite J, existe et évaluons sa valeur.
Considérons donc l'intégrale :
dïdr.
étendue au cercle ï^^
et calculons sa limite quand \ s'étale indéfiniment, c'est-à-dire, en revenant aux anciennes variables, calculons la limite de l'intégrale :
r zdx'dy'
quand z tend vers zéro.
IIO
THÉORIE DU POTESTIEL ?iEWTONlEN
Figurons (fig. 34; rélément ab = dx'dy' du domaine Si dans le plan des xy et considérons le cône, ayant pour sommet le point
Sa
Mo «^
Fig. 14.
M et pour base cet élément; appelons a Tangle de Ma avec Taxe des z et dT Tangle solide d'ouverture de ce cône ; on a :
Ma = r',
cosa
dT =
cosa
z dx'dy'
I/angle solide Q d'où Taire Sq est vue du point M est donc :
z dx'dy'
et Ton voit que :
Ju = ;^û.
Quand z tend vers zéro, il tend vers db p.t: et J^ vers zt 27:;jl; J„ a donc une limite J, quand z tend vers zéro, et cette limite est égale il + 2-;i., si z tend vers zéro par valeurs positives et à — 27:|x, si z tend vers zéro par valeurs négatives. Il en est de même de l'intégrale Z^ puisque
