i^tudiims (lime l'iiHi-grali
;ji rtiiiil oonsliiiil, i-llo s'i-i-fit :
dx'
;,p,.,„.,=lo,
On ;i ilonc. |H>ur V,", l'exprcssiuii suivante oliteiiue en
piiiit k- lugiii'ilhiiu' :
V;' = — 2;ji log5 + 2;j: log 2 \/ïïb el, pour V,,
V, = — 2 ulog ? + 2 ;i lofî 2 V'^ -f- (V? — V;°
niégrales îiu point M, •
Vï, V," etc., i'Umt les Yiilours ^des
l'X ^'(?), uiif (jiiiiiitito (jui s'annule avec Pusotis :
N ^ — 2 j^iog 2 \'i^y H- (v; — Vi") + {v;* — v;"),
o» aura :
V,^-2;.lntrp + \+T(?).
On M.il ([ur le pok-iiliel V, el, par siiilc. le potenliel V de la
^'ligiie entière augmentent Indéfiniment, quand le puint M s*ap- \ proche indéfînimeut d'un point M, de lu ligne.
Lu quuutilé N, qui entre dans son expression, ne dépend pas de p ni, par suite, du puint M, muîs seulement des euordonuces ] du point Ma-
Calculons cette quantité dans deux cas particuliers : celui \ d'une droite homogène et eelui d'une circonlérence homogène.
Soit AB (fig. 40), un segment de droite attirante homogène de densité [jl, les autres notations étant les mêmes que précédemment. On voit sans peine que l'expression
vî — v." + (v;» — v;"j,
est égale à zéro ; la quantité N se réduit donc à
N = 2[jilog2v/^,
a et b étant les longueurs M^^A et M^B. Le potentiel prend alors la forme :
,01 2/âb" V, =+ 2|xlog— — ;
c'est l'expression que nous avions trouvée au paragraphe 14. Passons au cas plus important d'une circonférence homogè^ie.
59. Cas d'une circonférence homogène. — Nous avons déjà (17) calculé le potentiel d'une circonférence homogène, en un point intérieur ou extérieur, à l'aide de la moyenne arithmètico-géo^ métrique de Gauss.
Voyons ce qui se passe, quand le point attiré M est très voisin de la circonférence.
Menons toujours (fig. 41) la normale MM,, et appelons p la longueur MM^; soit, en outre, [x la densité de la matière attirante. Le potentiel, en M, est donné par l'expression :
(1) V=— 2[xlogp + N;
Jious négligeons ^(p) qui s'an- :iiule avec p.
Nous avons dit que la quantité N ne dépend pas des coor- Fig. 41.
données du point M, mais peut
seulement dépendre de celles du point M^ ; ici, en vertu de la symétrie, N ne dépend même pas de la position de M^ et, par ^uite, son expression ne doit contenir que la densité [x et le rayon a ^u cercle; voyons de quelle manière (jl et a entrent dans N. PoincAEÉ. PoteDt. Newt. 9
!.. THÉORIE DU POTEyTlEL yE^fTOyiES
\.i: [jotentiel V cnvisiigô sous sa (iiiiiii' nrdliiiiirc ds'
Ton proportic
lin ni leste ment proportioi e (1), il se compose de liei
lelà
les
ntl. \, dnît doi
mais, envisagé sous !« i i, dont le premier e»t t c lYtre nussL
Celu posé, considérons encore V sous lu forme (2) ; dans l'in
Légrnle du second membre, [i est un nombre, ds' et r sont des J
longueurs; si l'on 'multiplie toutes les longuenrs pnr un même j
nombre, le rnpport ne change pas, V ne change donc pas nos 1
plus. Par eonsétjuent, quelle que soit la forme de son expressîoa, ■ le potentiel V doit être homogène et de degré zéro pjir rapport 1 aux longueurs qu'il contient ; pur exemple, si on re:ïprime, comme dans la formule (Ij, en fonction de p et a. il ne doit contenir que le rapport de ces deux longueurs.
D'après tout cela, V doit être nécei vante :
[liremenl de la forn
K étant un nombre, iiiLli'pendinit par conséquent des quantité:
a et [X.
Pour achever le calcul de V, il nous reste à calculer K,
Nous nous servirons pour cela des résultats établis antérieure*'
ment (11 et 18). Soit M, le point où J!M„ perce de nouveau It I
circonférence ; posons :
5 = MM
et appelons u (p,3) l'inver trique de ? et î ; on a (18)
de la moyenne aritbmético-géomé-1
(lonsiilérons le plan P, perpendiculaire au plan de la circonl'^ renée et passant par M,Mu; prenons ce plan P comme plan div tableau (fig. 42). Si le point M sort du plan primitif et se déplaci dans P sur une deuxième circonférence, tracée dans ce plan da'J
LIGNES ATTIRANTES i3i
point Mo comme centre, avec p pour rayon, la formule (3) montre que V ne change pas ; dans ce mouvement, o varie depuis 2a + p jusqu'à 2a — p. Donnons alors h M une position telle que p
Fig. 4a.
prenne la valeur 2a et calculons le potentiel, en M, dans ces conditions. On a :
V = 2 Tîua^lp, 2 a}.
Rapprochons cette formule de la formule (3) et égalons les deux expressions de V, il vient :
