I.A FONCTION DE GREEN ET LE PROBLEME DE DIRICHLET
60. Théorème de la moyenne de Gauss. — Soit V une iono lîon des trois variables x, y, z, continue ainsi que ses dérivées premières dans un certain domaine; supposons que ses dérivées secondes existent et soient généralement continues, les discontinuités, s'il y en a, se trouvant sur des surfaces algébriques d'ailleurs quelconques.
Soit, en outre, M^ un point de ce domaine et ï une sphère, ayant pour centre M^ et située dans le domaine considéré ; on appelle moyenne de la fonction V sur cette sphère Texpression :
fVda)
l'intégrale étant étendue à tous les éléments dw de la surface de la sphère et r étant le rayon de cette sphère. Soit enfin V^, la la valeur de V au point M^.
Le théorème de la movenne de Gauss est le suivant : Si la fonclion V satisfait a Téquation de Laplace
AV -= 0, en tout point du domaine, on a la relation :
quel que soit r.
Pour démontrer ce théorème, changeons de variables et passons en coordonnées polaires; les formules de transformation
sont :
X = r sin H cos '^,
y -= r sinO sin cp,
z = r cos 9,
iJl THÉORIE DU rOTEKTlKL XEWTOXIElt
riiri{{inc primitive et lu nouvelle étnnt toutes deux au ccnlre M. de !i et les cmirlies
dêsignimt les méridiens et les parnllèles de la sphère.
l'iirtageons lu splu-re en élcniciits de surface très petits, de», ii l'iiide de ces deux svslémes de coiirltes; on a :
db> = r'sinSd^d»,
et l'expression de M devient :
les limites de cotte dernière intégrale étant :
pour s : et 2-n, pour H : et j:.
Les limites étant constantes, nu peut diirércnticr sons le signe j . et écrire :
fj dV
dr ./ qj; dr
[IM ^ t
dr'~j~
iieiennes variables.
(IM r <i\' d<^
Mais i par S la
/• d\ tlw 1 ,• dV ,
j-d^^i;^=^i^./inr '■•■'•
signant par T un volume cl
\ a VH ^20) ([ue l'on 1 nrlae.- (pu le limite.
la seconde intégrale élanl élcnilno au volume T et la ]>romièrc ii lu surface S; cela a lieu sons certaines conditions de continuité, «pii seroul icî remplies, si nous prenons pour surface S la sphère
FOSCTION DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRICULET i3;
2) et, pour volume T, Tintérieur de cette sphère. Maïs, en cluKiuf point de rintérîeur de la sphère, on a
AV = 0, donc
jAVdT=0, par suite,
r4Ldco=o,
J an et enfin
dr ^*
M est donc indépendant de r. Or, quand r tend vers zéro, les valeurs de V sur la sphère tendent vers V^^, l'intégrale /Vdw tend vers 47cr*Vç et enfin M tend vers V^; comme M est fixe, on doit constamment avoir M = Vq.
Le théorème de Gauss est donc démontré.
61. Fonctions harmoniques. — On appelle fonction harmonique^ dans un domaine donné T, une fonction qui, dans o<» domaine, possède les propriétés suivantes :
1® Elle est continue ;
2* Ses dérivées premières existent et sont continues;
3® Ses dérivées secondes existent et sont généralement continues, les discontinuités, s'il y en a, se trouvant sur des surfaces algébriques quelconques ;
4® Elle satisfait à l'équation de Laplace :
La fonction V considérée au paragraphe précédent est unr fonction harmonique.
Voici une propriété importante de ces fonctions. Soient T ue volume, S la surface qui le limite et V une fonction harmonique dans T. Puisqu'elle est continue , elle a un maximum qu'elle atteint pour un point du domaine. Je dis que ce point n'est pas v l'intérieur de T, mais sur S. Supposons, en effet, qu'il soit intérieur h T ; on peut l'entourer d'une sphère, ayant ce point pour centre et tout entière intérieure à T. En tout point de hi sphère-
la valeur de Vest ini'éricutc siii maximum V,,; l'inlégmlc /^'cÎcjj p
donc inférieure ii ^iir'V, el enfin In nmjennc M est inl'érieure à V
mais, d'après le théorème précédent, ou doit avoir M ^ V,;
est donc impossible que V alteîgi
de T; elle l'atteint sur la surface S. Pour l<
a un minimum el elle l'atteint sur S.
On peut donc énoncer, en général, le llic
l/ne f'onclioti /iunnonit/ue tlann un domain miiin el son ntinùniim i/iie sur ta surface tji
On en conclut sans peine le harmonique est positive sur lu limité par cette surface.
Toutes ces propriétés sont vraies, que le domaine soit simplement ou muttiplement
L dans rinlérîeuH
t atreinf son maji-l Umile ce domaine.!^ laire suivant : Si une functio ■ce, elle l'est dans le volume I
