I. — Supposons le dom d'une fonction V hnrnioniqu

éde nous'permct de faire les t

ne T limité; soient g le mas c dans ce domaine el li son

sur la surface : h ^ V ^ g, dans l'intérieurde T : h < V < g.

II. — Supposons le domaine T constitué par toute la portion I de l'espace extérieure ii une surface S; ce domaine s'étend depuis! la surface jusqu'il l'infini. Décrivons une très grande sphère S'a entourant S. Soient g et h le maximum et le minimum sur S,I g' et h' le maximum et le minimum sur S'; on a :

sur S : h < V < g, sur S' : h'<V<g'.

Le maximum de V sera la plus grande des deux quantités g el g pour le volume compris entre ces deux surfaces ; le minîmuni,1 pour ce même volume, sera la plus petite des ([uantités h et h'.

Supposons maintenant que, S restant fixe, le rayon de S' granJ disse indéfiniment et que V s'annule à l'iafinï ; g' cl h' tendenti vers zéro. Plusieurs cas peuvent alors se présenter :

FONCTIOy DE GREES ET PROBLÈME DE DÏRICIILET i 5;

1** Supposons h positif; g Test aussi et, si S' est assez grand,

on a :

h' < h et g' < g,

et, par suite,

ou

dans tout l'espace extérieur à S.

2^ Supposons

on a :

et, dans tout Tespace extérieur \\ S :

3** Supposons

on voit de la même façon que, dans tout l'espace extérieur à S, V est constamment négatif.

C'est un de ces trois cas qui se présente, pour le potentiel dû à des masses situées à distance finie.

ni. Reprenons le cas d'un domaine limité compris à l'intérieur d'une surface S; on a les inégalités

g > V >h : dans T, g ^ V ^ h : sur S.

Si donc, en tout point de S, la fonction est nulle, elle est nulle «lussi, en tout point de T.

IV. — Soit une fonction V, harmonique dans tout l'espace et s'annulant a l'infini. Je dis que l'on a V=eO dans tout l'espace. Traçons, en effet, une sphère de très grand rayon ; les valeurs de Y, à l'intérieur de la sphère, sont comprises entre le maximum g et le minimum h, lesquels sont atteints par la fonction sur la surface et tendent par suite vers zéro, quand le rayon de la sphère croît indéfiniment; V tend donc vers zéro, à l'intérieur de la

lï8 THÉORIE Dl- POTEKTIEl fiEWTOSIE

sphère et, comme sji viilcur ni ch.tque point est bien àvUv on u nccessjiirement \ =0 dans tout IVspafe.

63. Ce qui précède nous permet de trouver les propriétés caractéristiques de la fonction potentielle (cas de l'attraction newtonicniie), c'est-ù-dirc les conditions nécessaires et suffîsantes poiU qu'une fonction représente un potentiel newtonien.

Suit une fonction V satisfaisant aux condillons si

1° V est continue dans tout l'espace.

2" Ses dérivées premières existent et siml rotititines, â l'intérieur et à l'extérieur d'une surface S donnée ; mais, quand ( franchît la surface, elles éprouvent des discontinuités ; elles teO' dent vers des limites diit'érentes, mais liien déterminées, quaiu on tend vers la surface soit pur l'intérieur, soit pur l'extérieur, et ces limites sont telles que, seule. In dérivée prise suivant Iq normale éprouve une discontinuité ii la traversée, les dérîvéei tangentielies de .S restant continues.

!î" A l'extérieur de S, on a

4" A l'intérieur, iV est quelconque.

5° V s'annule ii l'iulini.

Ces conditions sont évidemment nécessaires pour défini potentiel newtonien, puisque tout potentiel newtonien les possède. Nous ullons montrer qu'elles sont suffisantes, c'est-ti-dire qu'elles définissent une fonction et que cette fonction est un potentiel.

Appelons T le volume enfermé dans S. V.n tout point di T, iV est quelconque, mais donné ; posons :

iV :

s étant une fonction doi

Considéro

is alors h

fonction V, ;

c'est un pôle

ntiel Je \

,lume, „i, -f Jé.ig,„.

demment, ei

tout pot

l X, y, 7. Jii volume

hi densité. On a évi-^

FOXCTIOS DE GREES ET PROBLÈME DE DIRÎCHLET iJy

Soil maintenant ^(x, y. z) une fonction définie sur la surlice S et exprimant, en chaque point, le saut brusque delà dérivée de V suivant la normale; puis posons :

v,=--^rJ^'^y^doA

cette intégrale double étant étendue à tous les éléments dto' de S. La l'unction V, satisfait à la deuxième condition imposée ii la foDction V, car c'est un potentiel de surface où la densité est représentée par la fonction »J/.

La somme des deux potentiels : V, + V,, remplit toutes les conditions imposées il la fonction V ; on peut donc la prendre pour fonction V.

Montrons que cette fonction est unique.

Supposons, pour un instant, qu'il y en ait une seconde V; considérons la différence

Elle remplit les conditions suivantes :

1* Elle est continue, dans tout Tespace, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre ;

2® Elle satisfait, dans tout Tcspace, à l'équation de Laplace. Cette différence est donc une fonction harmonique dans tout l'espace ;

3** Elle s'annule ii l'infini.

En vertu de la Remarque IV du paragraphe précédent, elle est identiquement nulle; donc la fonction V, + V, est unique.

Bref les cinq conditions énumérées plus haut sont suffisantes pour définir un potentiel et ne définissent pas d'autre fonction. Ce sont bien les propriétés caractéristi([ues cherchées.

Remarque. — Comme on le voit d'après les énoncés ni<^nies. il ne s'agit, dans tout ceci, que des potentiels de surface et de volume. Ceux de ligne, par exemple, sont exclus.

Les propriétés que nous venons d'établir ont une grande importance pour tout ce qui va suivre.