Problème de Dirichlet. — Problème intérieur. — Problème

1 io THÉOHIE DU POTESTIEL yEWTOSIEy

extérieur. — I.o problème intérieur de Dirichlet s'énonce ainsi : Sf)ît un volume T limité p.ir une surface S. Trouver une

foncticm V des trois vai'ial)les x. v, z satisfaisant aux conditions

suivantes :

1** Kn tout point de T, elle est continue, ainsi que ses dérivées

partielles des deux premiers ordres ; 2® Kn tout point de T, elle satisfait îi l'équation de Laplace :

.'{" Sur la surface S, elle se réduit a une fonction donnée L' des coordonnées.

On peut démontrer les deux théorèmes suivants :

I. — Si le problème intérieur de Dirichlet comporte une solution, il n'en comporte qu'une.

Supposons, en eilet, pour un instant, qu'il en comporte deux : soient V et V les deux fonctions ainsi obtenues. On a :

AV -= dans T, AV -= dans T, V--U sur S, V -=:U sur S.

Posons :

La fonctiiMi F satisfait aux conditions suivantes :

AF -^ 0, dans T, F =0, sur S.

Par consétpient. en vertu d'un théorème démontré au paragraphe précédent, on a partout, dans T, F '—i et, par suite, V^V; il ne peut donc pas (exister deux scdutions distinctes du problème énoncé.

H. — Le problème comporte toujours une solution. Cet énoncé est connu sous le nom de principe de Dirichlet.

Nous nous en occuperons dans un autre chaj)itre.

Voici maintenant l'énoncé du problème extérieur de Dirichlet,

On donne une surface fermée S et Ton considère l'espace extérieur à S, c'est-à-dire Tespace qui s'étend depuis cette sur-

FOyCTIOy DE GREES ET PROBLÈME DE DIRICULET i4i

face jusqu'à Tlnfinî. On demande de trouver une fonction V satisfaisant aux conditions suivantes :

1* En tout point de l'espace considéré, la fonction V est continue, ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres ;

2** En tout point du même espace, elle satisfait à l'équation de I^aplace :

3" Sur la surface S, elle se réduit a une fonction donnée U des coordonnées ;

4** Elle s'annule h l'infini.

On démontre, comme dans le cas du problème intérieur :